Question

8．如图所示，在竖直空间有直角坐标系xOy，其中x轴水平，在x轴正方向上有一钉子可自由移动，一长为2l的细绳一端系一个小球，另一端固定在y轴上P点，该点坐标为（0，l），将小球拉至细绳呈水平状态，然后由静止释放小球，细绳承受的最大拉力为9mg，为使小球下落后可绕钉子在竖直平面内做圆周运动到最高点，求钉子的坐标范围．

Answer 1

分析 当小球恰好通过圆周运动的最高点，根据牛顿第二定律求出最高点的最小速度，结合机械能守恒和几何关系求出x的最小坐标；当小球处于圆周运动的最低点，且细绳张力恰好达到最大值时，根据牛顿第二定律求出最低点的速度，结合机械能守恒和几何关系求出x的最大坐标，从而得出x的坐标范围．

解答 解：当小球恰好通过圆周运动的最高点时，钉子在x正半轴的左侧，则有：
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，
小球由静止到圆周运动最高点这一过程，根据机械能守恒定律有：
$mg（l-{r}_{1}）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
${x}_{1}=\sqrt{（2l-{r}_{1}）^{2}-{l}^{2}}$，
联立解得：${x}_{1}=\frac{\sqrt{7}}{3}l$．
当小球处于圆周运动的最低点，且细绳张力恰好达到最大值时，钉子在x正半轴的最右侧，则有：${F}_{max}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$，
小球由静止到圆周的最低点这一过程，根据机械能守恒定律有：$mg（l+{r}_{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
${x}_{2}=\sqrt{（2l-{r}_{2}）^{2}-{l}^{2}}$，
联立解得：${x}_{2}=\frac{4}{3}l$，
因而钉子在x正半轴上的范围为：$\frac{\sqrt{7}}{3}l≤x≤\frac{4}{3}l$．
答：钉子的坐标范围为$\frac{\sqrt{7}}{3}l≤x≤\frac{4}{3}l$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律及向心力公式的直接应用，抓住两个临界状态，一个恰好能够通过最高点，一个不能超过最大拉力，结合牛顿第二定律和机械能守恒综合求解，难度适中．