在水平地面上竖直固定一根内壁光滑的圆管.管的半径R=3.6m.管的出口A在圆心的正上方.入口B与圆心的连线与竖直方向成60°角.如图所示．现有一只质量m=1kg的小球从某点P以一定的初速度水平抛出.恰好从管口B处沿切线方向飞入.小球到达A时恰好与管壁无作用力．取g=10m/s2．求:(1)小球到达圆管最高点A时的速度大小,(2)小球在管的最低点C时.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013?南京模拟）在水平地面上竖直固定一根内壁光滑的圆管，管的半径R=3.6m（管的内径大小可以忽略），管的出口A在圆心的正上方，入口B与圆心的连线与竖直方向成60°角，如图所示．现有一只质量m=1kg的小球（可视为质点）从某点P以一定的初速度水平抛出，恰好从管口B处沿切线方向飞入，小球到达A时恰好与管壁无作用力．取g=10m/s²．求：
（1）小球到达圆管最高点A时的速度大小；
（2）小球在管的最低点C时，管壁对小球的弹力大小；
（3）小球抛出点P到管口B的水平距离x．

分析：（1）小球到达A时恰好与管壁无作用力，由重力提供向心力，列式可求得小球到达A点的速度大小．
（2）小球从管的最低点到最高点A，管子的弹力不做功，其机械能守恒，列式可求解出濒于经过C点时的速度大小．在最低点，由重力和管子的弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出管壁对小球的弹力大小．
（3）从B到A的过程，运用机械能守恒列式，可求出B点的速度．运用分解法，可求出平抛运动的初速度和B点的竖直分速度，由v_y=gt求出平抛运动的时间，小球的抛出点到管口B的水平距离x=v₀t．

解答：解：（1）小球在最高时对管壁无作用力，重力提供向心力，由向心力公式得：
mg=

可得小球到达圆管最高点时的速度为：
v_A=

10×3.6

m/s=6m/s
（2）设最低点C的速度为v，小球从管的最低点到最高点A，由机械能守恒定律可知：mg?2R=

mv2-

，
可得：v²=4gR+v

=（4×10×3.6+6²）m²/s²=180（m²/s²）
在最低点，由向心力公式可知 FN-mg=

mv2

，
可得：F_N=mg+

mv2

=（1×10+

1×180

3.6

）N=60N，方向竖直向上
（3）设B点的速度为v_B，由机械能守恒定律可知：
mg?（R+Rcos60°）=

，
代入数据解得：v_B=12m/s
由平抛运动规律可知，小球做平抛运动过程的初速度为：
v₀=v_Bcos60°=12×

m/s=6m/s，
在B点时的竖直速度为：v_y=v_Bsin60°=12×

m/s=6

m/s
由v_y=gt可知：t=

s
由x=v₀t可知，小球的抛出点到管口B的水平距离为：
x=v₀t=6×

m
答：（1）小球到达圆管最高点A时的速度大小为6m/s；
（2）小球在管的最低点C时，管壁对小球的弹力大小为60N；
（3）小球抛出点P到管口B的水平距离x为

m．

点评：本题是平抛运动、牛顿第二定律和机械能守恒定律等知识的综合应用，按程序法进行分析，关键要灵活选择研究的过程和状态．

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