Question

劲度系数为k的轻质弹簧，一端连接质量为2m的物块P（可视为质点），另一端悬挂在天花板上．静止时，P位于O点，此时给P一个竖直向下的速度v，让P在竖直方向上做简谐运动，测得其振幅为A．当P某次经过最低点时突然断裂成质量均为m的两个小物块B和C，其中B仍与弹簧连接并做新的简谐运动，而C自由下落，求：
（1）B所做的简谐运动的振幅．
（2）B做简谐运动时经过O点时速率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据胡克定律求出P在O点时弹簧的伸长量，得到B在最低点时弹簧的伸长量，再由胡克定律求出B的合力为零时弹簧的伸长量，则B点到平衡位置的距离即为振幅．
（2）根据系统机械能守恒可求出P到达最低点时弹簧的弹性势能增加量，当B从最低到O点的过程中，弹簧的弹性势能转化为B的重力势能和动能，再由机械能守恒求出B做简谐运动时经过O点时速率．
解答：解：（1）P在O点时，弹簧伸长量△x=
B在最低点时，弹簧的伸长量△x₁=A+△x
B的合力为零时，弹簧的伸长量△x₂=
所以B做简谐运动的振幅A₁=△x₁-△x₂=A+
（2）由能量守恒可知，P从O点运动到最低点的过程中有：
2mgA+=E_P（E_P为弹簧弹性势能增加量）
同理可知，B从最低点回到O点的过程中有：
E_P=mgA+
解得：物块B经过O点时的速率v=
答：（1）B所做的简谐运动的振幅为A+．
（2）B做简谐运动时经过O点时速率为．
点评：本题根据振幅的定义：振子到平衡位置的最大距离，求解振子做简谐运动的振幅．简谐运动过程中系统的机械能守恒，可研究振子的速度．