Question

宇航员在一行星上以速度v₀竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经t秒后落回手中，已知该星球半径为R．
（1）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？
（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？已知取无穷远处引力势能为零时，物体距星球球心距离r时的引力势能为：Ep=-G

mM

r

． （G为万有引力常量）

Answer 1

分析：（1）物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，需要达到第一宇宙速度，由竖直上抛可以求得星球表面重力加速度，进而可以求得第一宇宙速度
（2）物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，需要达到第二宇宙速度，即脱离地球的吸引，引力势能全部转化成动能，由机械能守恒加黄金代换可以得到结果．

解答：解：
（1）竖直上抛上下时间是相等的，故由物体的竖直上抛得：
v0=g

t

2

解得：
g=

2v0

t

若不落回地面，则物体的重力应全部用来充当向心力，由此得：
mg=m

v 2

R

解得：
v=

gR

=

2v0R t

（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，其速度应达到第二宇宙速度，设为v₂，由题目提示知其在星球表面的引力势能为：G

Mm

R2

，由机械能守恒：

1

2

mv22-G

Mm

R2

=0①
又由：
G

Mm

R2

=mg=

2mv0

t

解得：
GM=

2mv0R2

t

②
②带入①式解得：
v2=2

v0R t

答：
（1）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是

2v0R t

（2）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是2

v0R t

点评：重点是要弄清两种抛法不落回星球表面的含义是什么意思，一个对应的是要达到第一宇宙速度，一个对应的是要达到第二宇宙速度．