Question

13．如图甲所示，A、B为水平放置的间距d=2m的两块足够大的平行金属板，两板间有场强为E=1V/m、方向有B指向A的均匀电场，一喷枪从A、B板的中央点P向水平面各个方向均匀地喷出初速度大小均为v₀=10m/s的带电微粒．已知微粒的质量均为m=1.0×10^-5kg、电荷量均为q=-1.0×10^-3C，不计微粒间的相互作用、对板间电场和磁场的影响及空气阻力，取g=10m/s²．求：

（1）微粒落在金属板上所围成的图形面积．
（2）要使微粒不落在金属板上，通过计算说明如何调节两板间的场强．
（3）在满足（2）的情况下，在两板间再加垂直于纸面向里的均与磁场，磁感应强度B=0.1T，调节喷枪使微粒可以向纸面内沿各个方向喷出（如图乙），求B板被微粒打中的区域长度和微粒在磁场中运动的最短时间．

Answer 1

分析 （1）微粒落在金属板上所围成的图形应是圆形，微粒的初速度水平时，落在金属板上的位置与P点的水平距离最远，根据类平抛运动的规律解答．
（2）要使微粒不落在金属板上，重力与电场力相平衡，微粒在水平面内做匀速直线运动．由平衡条件解答．
（3）再加垂直于纸面向里的均匀磁场，重力与电场力相平衡，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，求出微粒的轨迹半径，由几何知识即可求解．

解答 解：（1）微粒落在金属板上所围成的图形应是圆形，设圆的半径为R．
则R=v₀t，$\frac{1}{2}d$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又 a=$\frac{qE+mg}{m}$=$\frac{1×1{0}^{-3}×1+1{0}^{-5}×10}{1×1{0}^{-5}}$=110m/s²
联立解得：R=v₀$\sqrt{\frac{d}{a}}$=$\frac{2}{11}\sqrt{55}$m
图形面积为 S=πR²=π×（$\frac{2}{11}\sqrt{55}$）²=$\frac{20π}{11}$m²
（2）要使微粒不落在金属板上，应使重力与电场力相平衡，微粒在水平面内做匀速直线运动，所以两板间的场强方向应调为竖直向下，且有
  qE′=mg，E′=$\frac{mg}{q}$=$\frac{1×1{0}^{-5}×10}{1×1{0}^{-3}}$V/m=0.1V/m
（3）再加垂直于纸面向里的均匀磁场，重力与电场力相平衡，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由 qv₀B=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得
  r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{1×1{0}^{-5}×10}{1×1{0}^{-3}×0.1}$m=1m
竖直向下射出的油漆微粒打在B板的左端恰好与B板相切：d₂=1m
当粒子源和B板右边击中点距离为直径时距离最远：d₁=$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{d}{2}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$m=$\sqrt{3}$m
故B板被微粒打中的区域长度为 L=d₂+d₁=（1+$\sqrt{3}$）m
当粒子运动的圆弧直径最短时，粒子运动的时间最短，
故根据题意可知，当粒子恰好击中粒子源正下方的B板处时间最短，根据距离和半径的关系可知轨迹对应的圆心角为60°，
所以t_min=$\frac{T}{6}$=$\frac{1}{6}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{1}{3}×\frac{π×1{0}^{-5}}{1{0}^{-3}×0.1}$s=$\frac{π}{30}$s
答：
（1）微粒落在金属板上所围成的图形面积是$\frac{20π}{11}$m²．
（2）要使微粒不落在金属板上，两板间的场强方向调为竖直向下，大小调为0.1V/m．
（3）B板被微粒打中的区域长度为（1+$\sqrt{3}$）m，微粒在磁场中运动的最短时间是$\frac{π}{30}$s．

点评 考查带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，掌握牛顿第二定律与运动学公式的综合应用，理解几何关系在题中的运用，注意会画出粒子的运动轨迹，及已知长度与半径的半径．