Question

1．如图所示，半径为R的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，A点是最低点，B点是最高点，质量为m的小球以5$\sqrt{gR}$的速度自A点进入半圆轨道，它经过最高点后飞出，最后落在水平地面上的C点，现测得AC=4R，重力加速度为g，不计空气阻力．求：
（1）小球在A点时对圆轨道的压力大小；
（2）小球在B点时的速度大小；
（3）小球在半圆轨道上运动的过程中损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）小球在A点时，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出支持力，再由牛顿第三定律可求得压力．
（2）小球由B到C做平抛运动，由平抛运动规律可求得小球在B点的速度；
（3）根据能量守恒定律求小球在半圆轨道上运动的过程中损失的机械能．

解答 解：（1）小球在A点时，由牛顿第二定律可得：
N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
据题有：v_A=5$\sqrt{gR}$
解得：N=26mg；
由牛顿第三定律可得：小球在A点时对圆轨道的压力大小为：
N′=N=26mg
（2）小球从B到C作平抛运动，则有
水平方向有 4R=v_Bt；
竖直方向有 2R=$\frac{1}{2}$gt²；
解得：v_B=2$\sqrt{gR}$；
（2）小球从A到到B点，以AC所在水平面为参考平面，由能量守恒定律，小球在半圆轨道上运动的过程中损失的机械能为：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-2mgR）=$\frac{17}{2}$mgR
答：（1）小球在A点时对圆轨道的压力大小是26mg；
（2）小球在B点时的速度大小是2$\sqrt{gR}$；
（3）小球在半圆轨道上运动的过程中损失的机械能是$\frac{17}{2}$mgR．

点评 解答此题关键是分析小球的运动过程，明确小球在A的受力情况，知道圆周运动的向心力来源于指向圆心的合力．