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5.如图所示,在平面直角坐标系第三象限内有沿+y方向的匀强电场;在第一象限内有垂直于纸面向外的有界匀强磁场,磁感应强度大小为B=$\frac{{mv}_{0}}{qd}$,图中电场及磁场的边界均未画出,一个质量为m、电量为+q的粒子以初速度v0自点P(-2$\sqrt{3}$d,-d)沿+x方向运动,恰经原点O进入第一象限,不计粒子重力.
(1)求匀强电场的电场强度大小;
(2)若该匀强磁场B位于x≥9d的区域内,求粒子经过坐标轴时的坐标;
(3)若该匀强磁场B位于某一矩形区域内,粒子穿过磁场后,最终从x轴上的点Q(9d,0)处沿-y方向进入第四象限,求该矩形磁场的最小面积.

分析 (1)粒子在电场中做类平抛运动,将粒子的运动分解即可;
(2)由粒子在电场中的运动,求出粒子沿竖直方向的分速度,然后求出粒子进入磁场的坐标;由洛伦兹力提供向心力求出粒子做匀速圆周运动 半径,然后又几何关系即可求出粒子粒子经过坐标轴时的坐标;
(3)粒子穿过磁场后,最终从x轴上的点Q(9d,0)处沿-y方向进入第四象限,画出粒子运动的轨迹,即可确定该矩形磁场的最小面积.

解答 解:(1)沿x轴方向:$2\sqrt{3}d$=v0t…①
沿y轴方向:d=$\frac{1}{2}$at2…②
根据牛顿第二定律:a=$\frac{qE}{m}$…③
由①②③式得:E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$
(2)y轴方向的速度:vy=at=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…④
速度和x轴方向的夹角:tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…⑤
所以:α=30°
粒子到达磁场的边界时,纵坐标:$y=9d•tan30°=3\sqrt{3}d$
粒子速度:v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$…⑥
粒子进入磁场后,根据左手定则可知粒子沿顺时针方向偏转,洛伦兹力充当向心力,由牛顿第二定律:qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑦
由几何关系有:r=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$…⑧
由于y=4.5r,所以粒子不能直接经过x轴,而是在磁场中偏转300°后又射出磁场,然后做匀速直线运动,从y轴上的A经过坐标轴,其轨迹如图.

粒子在磁场中偏转的角度是300°,所以射出点在射入点的下方r处.由几何关系可知A点的纵坐标:${y}_{A}=2y-r=\frac{16\sqrt{3}}{3}d$,
A点的坐标为:(0,$\frac{16\sqrt{3}}{3}$)
(3)若该匀强磁场B位于某一矩形区域内,粒子穿过磁场后,最终从x轴上的点Q(9d,0)处沿-y方向进入第四象限,其轨迹如图,则:

由几何关系可得,磁场的最小高度等于轨迹的半径,磁场的最小宽度:L=r+rcos60°=1.5r
所以该矩形磁场的最小面积:${S}_{min}=r•1.5r=1.5{r}^{2}=2{d}^{2}$
答:(1)匀强电场的电场强度大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qd}$;
(2)若该匀强磁场B位于x≥9d的区域内,粒子经过坐标轴时的坐标是(0,$\frac{16\sqrt{3}}{3}$);
(3)该矩形磁场的最小面积是2d2

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动,注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用,在电场中注意由类平抛运动的规律求解.

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