Question

4．如图所示，倾角为45°的粗糙斜面AB，其底端B与半径为R=0.8m的光滑圆轨道相切，O点是轨道的圆心，E是轨道的最低点，C点是轨道的最高点．质量为m=1kg的小球从斜面的A点由静止开始下滑，从圆轨道的最高点C水平飞出，落到斜面上的D点，D与O点等高，g=10m/s²，求：
（1）小球在斜面上克服摩擦力所做的功；
（2）小球在经过圆轨道的最低点E时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）小球离开C点后做平抛运动，由高度和水平位移求出小球通过C点时的速度，再对A到C过程，运用动能定理求小球在斜面上克服摩擦力所做的功；
（2）由机械能守恒求出小球在经过圆轨道的最低点E时的速度，再由牛顿运动定律求小球对轨道的压力．

解答 解：（1）小球离开C点后做平抛运动，则有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
$\sqrt{2}$R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{gR}$
设小球在斜面上克服摩擦力所做的功为W．对A到C的过程，由动能定理得：
-W+mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：W=$\frac{1}{2}$mgR
（2）从E到C，由机械能守恒定律得：
2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
联立解得：N=6mg
由牛顿第三定律知小球在经过圆轨道的最低点E时对轨道的压力N′=N=6mg，方向竖直向下．
答：（1）小球在斜面上克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{2}$mgR；
（2）小球在经过圆轨道的最低点E时对轨道的压力是6mg，方向竖直向下．

点评 本题是动能定理与向心力、平抛运动及几何知识的综合，要注意挖掘隐含的临界条件，运用几何知识求解平抛运动的水平位移．