Question

19．如图所示，在xOy平面第Ⅰ象限存在沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E，一个电子沿x轴正方向以初速度v₀从y轴上的A点进入匀强磁场，从x轴上的C点进入第Ⅳ象限．已知A点坐标为（0，$\frac{3}{2}$b），C的坐标为（$\sqrt{3}$b，0）．
（1）求电子的比荷$\frac{e}{m}$；
（2）在第Ⅳ象限的合适位置加上一个磁感应强度为B₀的矩形匀强磁场区域，使得从C点进入第Ⅳ象限的电子通过所加的匀强磁场恰好沿着平行于x轴正方向射出．求：磁感应强度的方向？电子在匀强磁场中运动的时间t和所加磁场区域的最小矩形面积s？

Answer 1

分析 （1）电子在电场中做类似平抛运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解电子的比荷$\frac{e}{m}$；
（2）电子进入第四象限后现在匀速运动后做匀速圆周运动，画出轨迹，找到圆心，根据几何关系列式求解出半径；然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解磁感应强度，最后根据轨迹得到磁场最小面积．

解答 解：（1）电子做类似平抛运动，水平方向：${v}_{0}t=\sqrt{3}b$
竖直方向：$a=\frac{eE}{m}$，$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{3}{2}b$
解得：$\frac{e}{m}=\frac{{v}_{0}^{2}}{Eb}$
（2）经过C点时：${v}_{y}=at=\frac{eE}{m}•\frac{\sqrt{3}b}{{v}_{0}}$
速度大小为：${v}_{C}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+（at）^{2}}$=2v₀
与水平方向夹角为：$θ=atctan\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=60°$
电子进入第四象限先做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，电子向右偏转，由左手定则可知，磁场的方向向外．电子利用磁场速度偏转角为60°．
电子运动的周期：$T=\frac{2πm}{e{B}_{0}}$=$\frac{2πEb}{{{B}_{0}v}_{0}^{2}}$
电子在磁场中运动的时间：$t′=\frac{60°}{360°}•T=\frac{πEb}{3{{B}_{0}v}_{0}^{2}}$
由几何关系可得所加磁场区域的最小矩形面积对应的磁场的矩形磁场的对角线等于电子的轨道的半径，由洛伦兹力提供向心力得：$e{v}_{C}{B}_{0}=\frac{{mv}_{C}^{2}}{r}$，
所以：$r=\frac{m{v}_{C}}{E{B}_{0}}=\frac{2Eb}{{B}_{0}{v}_{0}}$
矩形的长度：${L}_{1}=r•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}Eb}{{B}_{0}{v}_{0}}$
矩形的宽度：${L}_{2}=r（1-cos60°）=\frac{1}{2}r=\frac{Eb}{{B}_{0}{v}_{0}}$
所加磁场区域的最小矩形面积为：S_m=L₁•L₂=$\frac{\sqrt{3}{E}^{2}{b}^{2}}{{{B}_{0}^{2}v}_{0}^{2}}$
答：（1）电子的比荷$\frac{{v}_{0}^{2}}{Eb}$；
（2）磁感应强度的方向向外，电子在匀强磁场中运动的时间t是$\frac{πEb}{3{{B}_{0}v}_{0}^{2}}$，所加磁场区域的最小矩形面积是$\frac{\sqrt{3}{E}^{2}{b}^{2}}{{{B}_{0}^{2}v}_{0}^{2}}$

点评 本题关键是找出电子的运动规律，画出轨迹图，然后分阶段根据类似平抛运动的分运动公式和洛伦兹力提供向心力列式求解