Question

11．如图所示，在同一竖直平面内有一个半径为r的四分之一光滑圆弧和一半径为R=2r的光滑圆轨道通过平滑小孔连接，小球可以无能量损失地切入圆轨道内，今有两个可视为质点的质量为m的小球A和B，B球位于圆轨道的最低点，现让球A在圆弧开口的正上方h高处由静止释放后恰好进入四分之一光滑圆弧中，随后从小孔进入大圆轨道与B球碰撞并粘合在一起，欲使A球在碰撞前后都能在大圆轨道中做完整的圆运动，试求h的最小高度．

Answer 1

分析 小球做完整的圆周运动，在最高点重力提供向心力，由牛顿第二定律可以大圆轨道最高点最小速度度．
应用动量守恒定律与动能定理分析求解h的最小高度．

解答 解：使A球在碰撞前后都能在大圆轨道中做完整的圆运动，
根据牛顿第二定律得小球在大圆轨道最高点最小速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{2gr}$，
规定向左为正方向，根据系统动量守恒定律研究A球与B球碰撞得
mv′+0=2mv
v′=2$\sqrt{2gr}$，即A球与B球碰撞前速度为2$\sqrt{2gr}$，
根据动能定理研究A球从开始到与与B球碰撞前的过程，
mg（h+r+2r）=$\frac{1}{2}$mv′²-0
解得h=r，即h的最小高度是r．
答：h的最小高度是r．

点评 本题难度较大，应用动量守恒定律与动能定理、牛顿第二定律即可正确解题，解题时要注意，小球在竖直面内做完整的圆周运动的隐含条件是：在最高点，小球做圆周运动的向心力由重力提供．