Question

13．如图，水平地面上有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直挡板，挡板高h=9m，与挡板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s=3m，挡板的左侧以及挡板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T；质量m=1×10^-3kg、电荷量q=-1×10^-3C、直径略小于小孔宽度的带电小球（视为质点），以某一速度从底部小孔水平向左射入场中做匀速圆周运动，若小球与档板碰后以原速率反向弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中，g=10m/s²，求：
（1）电场强度的大小与方向；
（2）小球做圆周运动的周期及最大半径；
（3）小球运动的最小速率．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）洛伦兹力提供向心力，故半径越大，速度越大，当小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，根据几何关系求解出半径．根据周期公式求出小球做圆周运动的周期．
（3）根据几何关系求出粒子的最小半径，根据半径公式求出最小速率的大小．

解答 解：（1）因小球能做匀速圆周运动，所以有：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}=\frac{1{0}^{-2}}{1{0}^{-3}}N/C=10N/C$，
方向竖直向下．
（2）小球做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
周期T═$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}=\frac{2π×1{0}^{-3}}{1{0}^{-3}×1}s$=6.28s．

小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，如图1所示，由几何知识可得：
（h-R_m）²+s²=R_m²
求得：最大半径 R_m=5m．
（3）因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在档板的竖直线上
R≥s=3m
设小球与档板碰撞n次，其最大半径为 要击中目标必有：$\frac{h}{n}≥3$
h=9m，代入解得 n≤1.5
n只能取0，1
当n=0，即为（2）问中的解
当n=1，时可得：
（h-3R）²+s²=R²
（9-3R）²+3²=R²
解得：R₁=3m，R₂=3.75m
R₁=3m时半径最小，其运动轨迹如图2中的轨迹①所示，有：
$q{v}_{min}B=m\frac{{{v}_{min}}^{2}}{{R}_{1}}$
可得最小速率 v_min=3m/s．
答：（1）电场强度的大小为10N/C，方向为竖直向下；
（2）小球做圆周运动的周期为6.28s，最大半径为5m；
（3）小球运动的最小速率为3m/s．

点评 本题关键明确小球的运动规律，找到向心力来源，画出轨迹，然后根据几何关系求解半径，再联立方程组求解