Question

3．如图所示，轨道ABO在同一竖直平面内，由光滑水平轨道OB和倾角θ=30°、高度h=1m的倾斜轨道BA连接而成，OB与BA连接处是半径很小的圆弧，水平轨道上一轻质弹簧左端O固定在竖直的墙上，质量m=0.5kg的小物块从BA轨道上A点由静止开始下滑．已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，重力加速度g=10m/s²，弹簧形变始终在弹性限度内．求：
（1）物块第一次在水平轨道上压缩弹簧运动到速度为零时，弹簧具有的弹性势能E_P；
（2）物块在倾斜轨道上滑动的总路程s；
（3）物块第n次压缩弹簧后，沿倾斜轨道上升的最大高度h_n．

Answer 1

分析 （1）物体下滑的过程中克服摩擦力做功，压缩弹簧的过程中将动能转化为弹簧的弹性势能，由功能关系即可求出；
（2）由于摩擦力做功，物块最终静止在水平轨道上，重力势能全部转化为内能；
（3）用功能关系，依次求出物块第1次、第2次、第3次…压缩弹簧后，沿倾斜轨道上升的最大高度，由数学归纳法得出第n次压缩弹簧后，沿倾斜轨道上升的最大高度h_n．

解答 解：（1）物体压缩弹簧的过程中将动能转化为弹簧的弹性势能，由功能关系有：
mgh=$μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}+{E}_{P}$
代入数据得：E_P=2.5J
（2）由于摩擦力做功，物块最终静止在水平轨道上，且弹簧形变量为零，由动能定理有：
mgh-μmgcosθ=0
代入数据解得：s=4m
（3）设物块第1、2、3…次压缩弹簧后，沿倾斜轨道上升的最大高度分别为h₁、h₂、h₃…，则：
$mg（h-{h}_{1}）-μmg•\frac{h+{h}_{1}}{sinθ}=0$；$mg（{h}_{1}-{h}_{2}）-μmg•\frac{{h}_{1}+{h}_{2}}{sinθ}=0$；$mg（{h}_{2}-{h}_{3}）-μmg•\frac{{h}_{2}+{h}_{3}}{sinθ}=0$
将相关的数据代入，依次快的：
${h}_{1}=\frac{1}{3}m$；${h}_{2}=（\frac{1}{3}）^{2}$m；${h}_{3}=（\frac{1}{3}）^{3}$m
则有：${h}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$m
答：（1）物块第一次在水平轨道上压缩弹簧运动到速度为零时，弹簧具有的弹性势能是2.5J；
（2）物块在倾斜轨道上滑动的总路程是4m；
（3）物块第n次压缩弹簧后，沿倾斜轨道上升的最大高度是$（\frac{1}{3}）^{n}$m．

点评 该题中物体在运动的过程中，机械能逐渐转化为内能，解答的难点是如何使用数学归纳法，得出物块第n次压缩弹簧后，沿倾斜轨道上升的最大高度的表达式．