Question

5．已知地球的质量为M，半径为R，人造卫星的质量为m，万有引力常量为G，距地球表面高度为H的轨道上运行的人造卫星．
（1）人造卫星的万有引力是多少？
（2）人造卫星的运行周期是多少？
（3）运行速度有多大？
（4）人造卫星的重力加速度是多少？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$F=G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$=$m\frac{{v}^{2}}{R+H}$=ma，化简可得周期、线速度、加速度的大小．

解答 解：（1）根据万有引力定律$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，得人造卫星的万有引力是：$F=G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$，得：$T=2π\sqrt{\frac{（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}}$
（3）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+H}$，得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$
（4）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=ma$，得：a=$\frac{GM}{（R+H）^{2}}$
答：（1）人造卫星的万有引力是$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$．
（2）人造卫星的运行周期是$2π\sqrt{\frac{（R+H）^{3}}{GM}}$．
（3）运行速度为$\sqrt{\frac{GM}{R+H}}$．
（4）人造卫星的重力加速度是$\frac{GM}{（R+H）^{2}}$．

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力这个关系，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．