Question

（20分）如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B。有两根质量均为m的金属棒a和b与导轨垂直放置，a和b在两导轨间的电阻均为R，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即∝。试求：

　 （1）若b棒保持静止不动，则a棒释放的最大高度h₀。

　 （2）若将a棒从高度小于h₀的某处释放，使其以速度v₀进入磁场I，结果a棒以的

速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率P_b。

　 （3）若将a棒从高度大于h₀的某处释放，使其以速度v₁进入磁场I，经过时间t₁后a棒从磁场I穿出时的速度大小为，求此时b棒的速度大小，在如图坐标中大致画出t₁时间内两棒的速度大小随时间的变化图像。

Answer 1

（20分）

解：（1）a棒从h₀高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械守恒，有

   ………………2分

a棒刚进入磁场I时    …………1分

此时感应电流大小   …………2分

此时b棒受到的安培力大小    …………1分

依题意，有F=Kmg …………2分

求得   ………………1分

   （2）由于a棒从小于进入h₀释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止。

流过电阻R的电量

又   ………………2分

所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量

  ………………2分

将要相碰时a棒的速度   …………2分

此时电流     ………………1分

此时b棒电功率     ………………1分

   （3）由于a棒从高度大于h₀处释放，因此当a棒进入磁场I后，b棒开始向左运动。由于每时每刻流过两棒的电流强度大小相等，两磁场的磁感强度大小相等，所以两棒在各自磁场中都做变加速运动，且每时每刻两棒的加速大小均相同，

所以当a棒在t₁时间内速度改变时，b棒速度大小也相应改变了，即此时b棒速度大小为   ………………2分

两棒的速度大小随时间的变化图像大致右图所示  …………2分