Question

（2008?和平区模拟）如图所示，在真空区域内，有宽度为L的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂赢纸面向里，MN、PQ是磁场的边界．质量为m，带电量为-q的粒子，先后两次沿着与MN夹角为θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感线射入匀强磁场B中，第一次，：粒子是经电压U₁加速后射入磁场，粒子刚好没能从PQ边界射出磁场．第二次粒子是经电压U₂加速后射入磁场，粒子则刚好垂直PQ射出磁场．不计重力的影响，粒子加速前速度认为是零，求：
（1）为使粒子经电压U₂加速射入磁场后沿直线运动，直至射出PQ边界，可在磁场区域加一匀强电场，求该电场的场强大小和方向．
（2）加速电压

U1

U2

的值．

Answer 1

分析：画出粒子在磁场中运动的轨迹，由几何知识求出轨迹的半径．带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出速度．
（1）根据洛伦兹力与电场力平衡求出电场的场强大小和方向．
（2）再根据动能定理研究粒子在电场中加速过程，即可求出加速电压及加速电压之比．

解答：解：（1）经电压U₁加速后粒子射入磁场后刚好不能从PQ边界射出磁场，表明在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与PQ边界相切，要确定粒子做匀速圆周运动的圆心O的位置，如图甲所示，圆半径R₁与L的关系式为：L=R₁+R₁cosθ，R₁=

L

1+cosθ

．
又 qv₁B=m

v12

R

，解得v₁=

qBL

m(1+cosθ)

．
经电压U₂加速后以速度v₂射入磁场，粒子刚好垂直PQ射出磁场，可确定粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ边界线的O点，如图乙所示，半径R₂与磁场宽L的关系式为 R₂=

L

cosθ

．
又qv₂B=m

v22

R

．
解得v₂=

qBL

mcosθ

．
为使粒子经电压U₂加速射入磁场后沿直线运动，直至射出PQ边界，则所受的洛伦兹力和电场力平衡，
则qv₂B=qE
则E=v₂B=

qB2L

mcosθ

．方向垂直速度方向向下．
（2）在加速电场中，根据动能定理得：
qU1=

1

2

mv12
qU2=

1

2

mv22
所以

U1

U2

=

v12

v22

=

cos2θ

(1+cosθ)2

．
答：（1）电场强度的大小为

qB2L

mcosθ

．
（2）加速电压

U1

U2

的值

cos2θ

(1+cosθ)2

．

点评：题中带电粒子先加速后在磁场中偏转，电场中运用动能定理求解速度，在磁场中画轨迹，由几何知识求出半径，都是必须掌握的常用方法．