Question

2．如图所示，半径为R的半球形碗竖直固定，直径AB水平，一质量为m的小球（可视为质点）由直径AB上的某点以初速度v₀水平抛出，小球落进碗内与内壁碰撞，碰撞时速度大小为2$\sqrt{gR}$，结果小球刚好能回到抛出点，设碰撞过程中不损失机械能，重力加速度为g，则初速度v₀大小应为（　　）

• A． $\sqrt{gR}$
• B． $\sqrt{2gR}$
• C． $\sqrt{3gR}$
• D． 2$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 球欲回到抛出点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，根据平抛运动的规律和几何关系求解抛出点距AB弧圆心O的距离．由平抛运动的规律求解小球与圆弧AB的内壁碰撞时的速度大小．

解答 解：小球欲回到抛出点，与弧面的碰撞必须是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半径方向．设碰撞点和O的连线与水平夹角α，抛出点和碰撞点连线与水平夹角为β，如图，则有：
由y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=Rsinα，
得：t=$\sqrt{\frac{2Rsinα}{g}}$
竖直方向的分速度为：${v}_{y}=gt=\sqrt{2gRsinα}$
水平方向的分速度为：${v}_{0}=\sqrt{（2\sqrt{gR}）^{2}-（\sqrt{2gRsinα}）^{2}}$=$\sqrt{4gR-2gRsinα}$
又：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$
而：$tanβ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$
所以：tanα=2tanβ
所以物体沿水平方向的位移为：x=2Rcosα
又：x=v₀t
联立以上的方程可得：${v}_{0}=\sqrt{3gR}$．故ABD错误，C正确．
故选：C

点评 该题中，由于抛出点的位置是不知道的，需要根据位移偏转角的正切值与速度偏转角的正切值之间的关系正确找到抛出点的位置，然后才能正确解答，对数学的知识要求较高，在解答的过程中要注意咀嚼、品味．