Question

11．甲、乙两质点从零时刻同时开始在彼此平行且靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度为零，加速度为a，做匀加速直线运动；乙以速度v₀做匀速直线运动，请对两质点的相遇情况进行分析．若有相遇，求出相遇时刻；若无相遇，求出运动过程中的最小距离△s_min．

Answer 1

分析 甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动，可能速度相等时，甲乙两物体相遇，最小距离为0；可能速度相等时，乙未追上甲，则速度相等时，有最小距离，因为以后乙的速度小于甲的速度，两者距离逐渐增大；有可能速度相等前，两物体已相遇，速度相等后，甲的速度大于乙的速度，然后甲又追上乙并超越

解答 解：分析追及问题时，速度恰好相等时的情况往往是解题的关键．异地出发，匀速运动的物体追赶前方同向运动的初速度为零的匀加速运动的物体时情况较为复杂，在相遇之前，它们之间的距离△s可能先减小后增大，也可能不断减小，直至△s=0（相遇），而存不存在先变小后变大的情况，这完全取决于两质点之间的初始距离s与v₀、a之间的大小关系．
  由s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²可解得，$t=\frac{{v}_{0}±\sqrt{{v}_{0}^{2}-2as}}{a}$，可见：
（1）若v₀²=2as，即s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，则t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，甲、乙恰好相遇，△s为零．
（2）当v₀²＞2as，即$s＜\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$时，在甲、乙相遇前，甲、乙之间的距离始终在减小，直至相遇（最小距离△s=0），在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，甲被乙超过，不会出现△s最小的情况．
（3）当v₀²＜2as，即$s＞\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$时，甲与乙不可能相遇，两质点间距离会出现先变小后变大的情况，在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，两质点之间的距离最近，△s_min=s-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$
答：（1）若v₀²=2as，即s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，则t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，甲、乙恰好相遇，△s为零．
（2）当v₀²＞2as，即$s＜\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$时，在甲、乙相遇前，甲、乙之间的距离始终在减小，直至相遇（最小距离△s=0），在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，甲被乙超过，不会出现△s最小的情况．
（3）当v₀²＜2as，即$s＞\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$时，甲与乙不可能相遇，两质点间距离会出现先变小后变大的情况，在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$时，两质点之间的距离最近，△s_min=s-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$

点评 解决本题的关键理清两物体的运动情况，结合运动学公式灵活求解．由s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²可解得，$t=\frac{{v}_{0}±\sqrt{{v}_{0}^{2}-2as}}{a}$，据此式进行讨论．