Question

如图甲所示，两平行金属板接有如图乙所示随时间t变化的电压U，两板间电场可看作均匀的，且两板外无电场，板长L=0.2m，板间距离d=0.2m．在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里．现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子速度v₀=10⁵ m/s，比荷q/m=10⁸ C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的．
（1）试求带电粒子射出电场时的最大速度；
（2）证明：在任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和在MN上出射点的距离为定值，写出该距离的表达式；
（3）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间．

Answer 1

分析：（1）当粒子从极板的右边缘射出时，粒子的速度最大，根据粒子在匀强电场中的偏转，通过偏转位移求出偏转的电压，再通过动能定理求出粒子射出电场时的最大速度．
（2）设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ，根据类平抛运动求出射出电场时的速度与初速度的关系，再根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出半径的表达式，从而求出入射点与出射点的距离表达式，看是否与夹角θ有关．
（3）当带电粒子在磁场中运动的圆心角最大，运动的时间最长，圆心角最小，时间最短．类平抛运动竖直方向上的分速度越大，粒子射出电场速度方向与MN间夹角越小，圆心角越大，根据几何关系求出最大圆心角和最小圆心角，即可求出粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间．

解答：解：（1）偏转电压由0到200V的变化中，粒子流可能都能射出电场，也可能只有部分粒子能射出电场．
设偏转的电压为U₀时，粒子刚好能经过极板的右边缘射出．

d

2

=

1

2

at2
粒子的加速度：a=

F

m

=

qU1

md

粒子在偏转电场中的时间：t=

L

v

联立以上三式解得：
得U₁=100V．
知偏转电压为100V时，粒子恰好能射出电场，且速度最大．
根据动能定理得，

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

+q?

U1

2

代入数据解得：v1=

2×105

m/s=1.41×105m/s．
方向：斜向右上方或斜向右下方，与初速度方向成45°夹角．
（2）设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ．粒子射出电场时速度大小为：v=

v0

sinθ

又有洛伦兹力提供向心力：qvB=m

v2

R

解得R=

mv

qB

=

mv0

qBsinθ

．
因此粒子射进磁场点与射出磁场点间距离为：
s=2Rsinθ=

2mv0

qB

=0.4m．
由此可看出，距离s与粒子在磁场中运行速度的大小无关，s为定值．
（3）由（1）中结论可知，若粒子射出磁场的竖直分速度越大，则θ越小，故θ最小值为θ_m=45°，
此情景下圆弧对应的圆心角为270°，入射粒子在磁场中运行最长时间为：
tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10-6s
当粒子从上板边缘飞出电场在进入磁场时，在磁场中运动的时间最短：
tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10-6s．
答：（1）带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×10⁵m/s．
（2）证明略，距离为0.4m；
（3）粒子在磁场中运动的最长时间为3π×10^-6s和最短时间为π×10^-6s．

点评：本题考查了带电粒子在电场中的偏转和在磁场中做匀速圆周运动，关键掌握处理类平抛运动的方法，掌握粒子在磁场中运动的轨道半径公式和周期公式，以及运动时间与圆心角的关系．