Question

4．“嫦娥一号”卫星在距月球表面高度为h处做匀速圆周运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G（球的体积公式V=$\frac{4}{3}$πR³，其中R为球的半径）求：
（1）月球的质量M；
（2）月球的密度ρ；
（3）月球表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合嫦娥一号卫星的周期和轨道半径求出月球的质量．
（2）根据月球的质量以及月球的体积求出月球的密度．
（3）根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（3）月球表面万有引力等于重力，根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
又M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$．
解得g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）月球的质量M为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的密度ρ为$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（3）月球表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．