Question

19．如图所示，有一半径为R的半球形凹槽P，放在光滑的水平地面上，一面紧靠在光滑的竖直墙壁上，在槽口上有一质量为m的小球，由静止释放，沿光滑的球面滑下，经最低点B，又沿球面上升到最高点C，经历的时间为t，B、C两点高度差为0.6R．求：
（1）小球到达B点的速度多大
（2）小球到达C点的速度多大；
（3）在这段时间t里，竖直墙壁对凹槽的冲量以及地面对凹槽的冲量．

Answer 1

分析 （1）在A→B过程中：m机械能守恒，根据机械能守恒定律求解B的速度；
（2）在B→C过程中：凹槽与小球组成的系统动量守恒，机械能守恒，据此列式求解即可；
（3）在A→B过程中，竖墙对凹槽的冲量等于竖墙对系统的冲量，使得m获得水平动量，根据动量定理求解，在A→C过程中：系统竖直方向上的合冲量为零，即地面对凹槽的冲量I₂大小与竖直向下的Mg的冲量和mg的冲量之和的大小相等．

解答 解：在A→B过程中：m机械能守恒（凹槽与小球组成的系统动量不守恒）
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$…①
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
（2）在B→C过程中：凹槽与小球组成的系统动量守恒，机械能守恒，设凹槽质量为M，则小球到达最高点C时，M、m具有共同末速度．
mv_B=（M+m）v_C…②
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{C}}^{2}+0.6mgR$…③
由①②③式得：${v}_{C}=\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$
（3）在A→B过程中，竖墙对凹槽的冲量等于竖墙对系统的冲量，使得m获得水平动量，则${I}_{1}=m{v}_{B}=m\sqrt{2gR}$，方向水平向右，
在A→C过程中：系统竖直方向上的合冲量为零，即地面对凹槽的冲量I₂大小与竖直向下的Mg的冲量和mg的冲量之和的大小相等，则${I}_{2}=Mgt+mgt=\frac{5}{2}mgt$，方向竖直向上．
答：（1）小球到达B点的速度为$\sqrt{2gR}$；
（2）小球到达C点的速度为$\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$；
（3）在这段时间t里，竖直墙壁对凹槽的冲量大小为$m\sqrt{2gR}$，方向水平向右，地面对凹槽的冲量大小为$\frac{5}{2}mgt$，方向竖直向上．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律以及动量定理的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，选择合适的定理求解，难度适中．