Question

4．如图所示，Ox、Oy、Oz为相互垂直的坐标轴，Oy轴为竖直方向，整个空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现有一质量为m、电量为q的小球从坐标原点O以速度v₀沿Ox轴正方向抛出（不计空气阻力，重力加速度为g）．求：
（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，求场强E₁；
（2）若在整个空间加一匀强电场E₂，使小球沿Ox轴做匀速直线运动，求E₂的大小；
（3）若在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场E₃，使E₃=3E₁，求该小球从坐标原点O抛出后，经过y轴时的坐标y的表达式．

Answer 1

分析 （1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，由平衡条件求出场强．由牛顿第二定律求出半径．
（2）若在整个空间加一匀强电场E₂，使小球沿Ox轴做匀速直线运动，重力、电场力和洛伦兹力的合力为零，根据平衡条件求出场强．
（3）若在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场，小球在复合场中做螺旋运动，运用分解法研究坐标y

解答 解：（1）由于小球在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，则有：
qE₁=mg
解得：E₁=$\frac{mg}{q}$
方向沿y轴正向
（2）小球做匀速直线运动，受力平衡，则有：
qE₂=$\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（q{v_0}B）}^2}}$
解得：E₂=$\sqrt{{{（\frac{mg}{q}）}^2}+{{（{v_0}B）}^2}}$
（3）小球在复合场中做螺旋运动，可以分解成水平面内的匀速圆周运动和沿y轴方向的匀加速运动．
做匀加速运动的加速度为：a=$\frac{qE3-mg}{m}$=2g
从原点O到经过y轴时经历的时间：t=nT=$\frac{2πnm}{qB}$
y=$\frac{1}{2}$at²
解得：y=$\frac{4n2π2m2g}{q2B2}$（n=1，2，3…）   
答：（1）若在整个空间加一匀强电场E₁，使小球在xOz平面内做匀速圆周运动，场强$\frac{mg}{q}$；
（2）若在整个空间加一匀强电场E₂，使小球沿Ox轴做匀速直线运动，E₂的大小$\sqrt{{{（\frac{mg}{q}）}^2}+{{（{v_0}B）}^2}}$；
（3）若在整个空间加一沿y轴正方向的匀强电场E₃，使E₃=3E₁，该小球从坐标原点O抛出后，经过y轴时的坐标y的表达式y=$\frac{4n2π2m2g}{q2B2}$（n=1，2，3…）

点评 本题关键要掌握物体做匀速圆周运动的条件，分析受力情况是基础．对于小球做螺旋运动，采用运动的分解法研究是常用方法