Question

6．如图所示，相距L足够长的两根平行金属导轨与水平面成θ角，导轨电阻不计，上端连接阻值为R的电阻，在距导轨上端d₁处放置一水平导体棒ab，其质量为m，电阻也为R，导轨对导体棒ab的滑动摩擦力等于mgsinθ （最大静摩擦力始终等于滑动摩擦力）．整个装置处于匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向上．
（1）若磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为B=kt，求通过电阻R的电流；
（2）在第（1）问中，从t=0时刻开始，经多长时间导体棒开始滑动？
（3）若磁场的磁感应强度不随时间变化，大小为B₀，现对ab棒施以平行导轨向下的恒定拉力F，当导体棒ab下滑距离为d₂时速度达到最大，求导体棒ab从静止开始下滑到速度达最大的过程中，电阻R中产生的热量为多少？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由闭合电路欧姆定律求出电流．
（2）导体棒开始滑动时所受静摩擦力沿斜面向上达最大值，由平衡条件和安培力公式求解．
（3）当金属棒达到稳定速度时，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式结合得到ab棒的速度，再由能量守恒定律求解热量．

解答 解：（1）闭合回路中产生的感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$=Ld₁k，
电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{L{d}_{1}k}{2R}$；
（2）导体棒所受的安培力为：F_A=BIL，
对导体棒，由平衡条件：2mgsinθ=F_A，
磁感应强度：B=kt，
解得：t=$\frac{4mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{2}{d}_{1}}$；
（3）当金属棒达到稳定速度时，有
感应电动势：E=B₀Lv，
电流：I=$\frac{E}{R+r}$，
安培力：F_A′=B₀IL，
由平衡条件得：F=F_A′，
解得：v=$\frac{2FR}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$，
由能量守恒定律得：Fd₂=$\frac{1}{2}$mv²+Q，Q_R=$\frac{1}{2}$Q，
解得：Q_R=$\frac{1}{2}$（Fd₂-$\frac{2m{F}^{2}{R}^{2}}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$）；
答：（1）若磁场的磁感应强度B随时间的变化规律为B=kt，通过电阻R的电流为$\frac{L{d}_{1}k}{2R}$；
（2）在第（1）问中，从t=0时刻开始，经时间$\frac{4mgRsinθ}{{k}^{2}{L}^{2}{d}_{1}}$导体棒开始滑动；
（3）导体棒ab从静止开始下滑到速度达最大的过程中，电阻R中产生的热量为$\frac{1}{2}$（Fd₂-$\frac{2m{F}^{2}{R}^{2}}{{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$）．

点评 本题是线圈类型和导体在导轨上滑动类型的组合，分别从力和能量两个角度研究，关键要掌握法拉第定律、欧姆定律、能量守恒等等基本规律，并能正确运用．