Question

1．如图甲所示，在直角坐标系中有两条与y轴平行的磁场边界AB和CD，AB、CD与x轴的交点分别为M（2L，0）、N（4L，0）．在AB和 CD之间存在着垂直纸面向外的匀强磁场，在AB与 y轴之间存在着沿着y轴正方同的匀强电场．现有一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上的P点以初速度υ沿着x轴的正方向射入匀强电场，正好从M点进入匀强磁场，且速度方向与x轴所成夹角为30°．
（1）求匀强电场的电场强度E．
（2）若电子不能越过边界CD，求匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件．
（3）若电子通过M点时开始计时，磁场随时间变化的情况如图乙所示（垂直纸面向外为正，且不考虑磁场变化所产生的感生电场），要使电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴的夹角为30°．求磁场变化的周期T、磁感应强度B1的大小各应满足的表达式．

Answer 1

分析 （1）电子先在电场中做类平抛运动，以与水平方向成30°角进入匀强磁场做匀速圆周运动．由类平抛运动末速度方向公式就能求出电场强度大小．
（2）要使电子不越过边界CD，则最大半径的轨迹恰与CD相切，由几何关系求出最大的半径，由洛仑兹力提供向心力就可以求出最小的磁感应强度．
（3）根据电子在磁场中运动的对称性，电子在交变磁场中相继做逆、顺时针方向圆周运动，符合条件的粒子的运动轨迹是经过n次偏转后又从N点穿出，偏转一次电子向右平移一个R，则nR=2L．于是再由洛仑兹力提供向心力求出磁感应强度的值，交变磁场的周期恰好为粒子逆、顺时针偏转一次的时间．

解答 解：（1）电子离开电场时与水平方向成30°，由类平抛运动末速度方向公式：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$   而v_y=at
eE=ma   2L=v₀t
联立解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{6eL}$
（2）电子恰好不越过边界CD的轨迹如图实线所示，
$v=\frac{{v}_{0}}{cos30°}$
Rsin30°+R=2L
$evB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2eL}$ 
即须满足B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2eL}$
（3）要满足电子从N点射出，且与x轴的夹角为30°，轨迹如图乙所示，
在磁场变化的半个周期内，电子偏转了60°，所以在磁场变化的半个周期内，电子在x轴方
向上的位移等于R′
nR′=2L  （n=1，2，3…）
$ev{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{R′}$，v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$
解得：B₁=$\frac{\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$   （n=1，2，3…）
又：$\frac{T}{2}=\frac{{T}_{1}}{6}$，T₁=$\frac{2πm}{e{B}_{1}}$    （n=1，2，3…）
解得：T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$     （n=1，2，3…）
答：（1）匀强电场的电场强度E为$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{6eL}$．
（2）若电子不能越过边界CD，匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件是B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2eL}$．
（3）若电子通过M点时开始计时，磁场随时间变化的情况如图乙所示（垂直纸面向外为正，且不考虑磁场变化所产生的感生电场），要使电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴的夹角为30°则磁场变化的周期T=$\frac{2\sqrt{3}πL}{3n{v}_{0}}$ （n=1，2，3…）、磁感应强度B₁=$\frac{\sqrt{3}nm{v}_{0}}{3eL}$ （n=1，2，3…）．

点评 本题考察带电粒子在组合场中偏转和匀速圆周运动问题，要注意的是电子在电场中类平抛运动的末速度方向，联系着电子在电场中的时间和场强大小．其次电子在交变磁场分别做逆、顺时针方向圆周运动，由几何关系表示半径的多解式，从而求出磁感应强度和周期的多解式．