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20.如图,ABD为竖直平面内的轨道,其中AB段是水平粗糙的、BD段为半径R=0.4m的半圆光滑轨道,两段轨道相切于B点.小球甲从C点以速度υ0沿水平轨道向右运动,与静止在B点的小球乙发生弹性碰撞.已知甲、乙两球的质量均为m,小球甲与AB段的动摩擦因数为μ=0.5,C、B距离L=1.6m,g取10m/s2.(水平轨道足够长,甲、乙两球可视为质点) 
(1)甲乙两球碰撞后,乙恰能通过轨道的最高点D,求乙在轨道上的首次落点到B点的距离;
(2)在满足(1)的条件下,求的甲的速度υ0
(3)若甲仍以速度υ0向右运动,增大甲的质量,保持乙的质量不变,求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围.

分析 (1)乙恰能通过轨道的最高点D时,由重力提供向心力,由牛顿第二定律求得乙通过D点时的速度,再由平抛运动的规律求乙在轨道上的首次落点到B点的距离;
(2)对于甲乙碰撞,根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以知道它们交换速度.对乙从B到D,由动能定理求得碰后瞬间乙的速度.对甲从C到B,由动能定理求得速度υ0
(3)根据动量守恒定律和机械能守恒定律得到碰后乙速度的范围,再由平抛运动的规律求得乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围.

解答 解:(1)设乙到达最高点的速度为vD,乙离开D点到达水平轨道的时间为t,乙的落点到B点的距离为x,乙恰能通过轨道最高点,则
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…①
乙做平抛运动过程有:
2R=$\frac{1}{2}$gt2…②
x=vDt…③
联立①②③得:x=0.8 m…④
(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为v、v,取向右为正方向,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
  mvB=mv+mv…⑤
  $\frac{1}{2}$mvB2=$\frac{1}{2}$mv2+$\frac{1}{2}$mv2…⑥
联立⑤⑥得:v=vB ⑦
对乙从B到D,由动能定理得:-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$mv2…⑧
联立①⑦⑧得:vB=2$\sqrt{5}$m/s…⑨
甲从C到B,由动能定理有:-μmgL=$\frac{1}{2}$mvB2-$\frac{1}{2}$mv02
解得:v0=6m/s
(3)设甲的质量为M,碰撞后甲、乙的速度分别为vM、vm,取向右为正方向,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有:
   MvB=MvM+mvm…⑩
  $\frac{1}{2}$MvB2=$\frac{1}{2}$MvM2+$\frac{1}{2}$mvm2…(11)
联立得⑩(11)得:vm=$\frac{2M{v}_{B}}{M+m}$…(12)
由M=m和M≥m,可得 vB≤vm<2vB …(13)
设乙球过D点时的速度为vD',由动能定理得:
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv′02-$\frac{1}{2}$mvm2…(14)
联立⑨(13)(14)得:2 m/s≤vD'<8 m/s …(15)
设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为x',有:x'=vD't  …(16)
联立②(15)(16)得:0.8 m≤x'<3.2m…(17)
答:(1)乙在轨道上的首次落点到B点的距离是0.8m;
(2)甲的速度υ0是6m/s;
(3)乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围是0.8 m≤x'<3.2m.

点评 解决本题的关键知道弹性碰撞中动量守恒、机械能守恒,理清运动过程,知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律,以及圆周运动向心力的来源,结合动能定理和牛顿第二定律进行求解.

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