Question

8．如图所示，一个板长为L，板间距离也是L的平行板电容器上极板带正电，下极板带负电．t=0时刻，有一对质量均为m，带电量分别为+q和-q的粒子从两极板正中央平行极板以速度v₀射入，忽略两粒子所受的重力及相互作用，-q粒子恰能从上极板边缘飞出．
（1）求两极板间的电场强度E的大小、-q粒子飞出极板时速度v的大小与方向．
（2）在极板右边的空间里存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，若+q粒子与-q粒子在磁场中恰好能相遇，磁感应强度B多大？
（3）在上述条件下，如果只有-q粒子射入，它能否回到出发点？若能，它经过多长时间回到出发点；若不能，求粒子自射入点至最终落点的时间．

Answer 1

分析 （1）极板间电场的方向由正极板指向负极板，根据粒子在电场中的类平抛运动的水平位移和偏转位移可求解电场强度的大小；由动能定理可求粒子飞出电场的速度，飞出电场时速度的方向与初速度的方向间的夹角可用沿电场方向的分速度与初速度的比值来表示
（2）两粒子进入磁场后将做匀速圆周运动，有运动的对称性可知，两粒子在磁场中运动半径相同，对心正碰点必是初速度所在直线与圆周的交点，由几何关系找到粒子运动的半径，利用半径公式可得磁感应强度的表达式．
（3）粒子先在电场中做平抛运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，最后又在电场中做类平抛运动，分别求出三段运动的时间，然后求和即可．

解答 解：（1）-q粒子做类平抛运动，在水平方向做匀速运动，在竖直方向做匀加速运动：
由题意知，电场方向从上极板指向下极板
对于-q粒子，做类平抛运动的沿电场方向的加速度为：a=$\frac{Eq}{m}$…①
粒子在电场中运动时间，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$…②
设粒子沿电场方向位移为y，由于恰从上极板边缘射出，则有
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{L}{2}$…③
由①②③得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$…④
设粒子飞出板时水平速度为v_x，竖直速度为v_y，水平偏转角为θ：v_x=v₀  ⑤
v_y=at=$\frac{qE}{m}•\frac{L}{{v}_{0}}$   ⑥，
则：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$   ⑦，
$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   ⑧
由④⑤⑥⑦⑧式可得θ=45°，$v=\sqrt{2}{v}_{0}$  ⑨
（2）由于+q粒子在电场中向下偏转，且运动轨迹与-q粒子对称，它飞出下极板时速度大小、偏转角和-q粒子相同，进入磁场后它们做半径相同的匀速圆周运动，轨迹如图所示，

由几何关系得：$R=\frac{\sqrt{2}}{2}L$    ⑩
洛仑兹力提供向心力：qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$       
联立得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$           
（3）粒子不能回到射入点，最终落在上极板上．
粒子在电场中运动的时间：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在磁场中运动的时间：${t}_{2}=\frac{270°}{360°}•T=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{3πL}{4{v}_{0}}$   
粒子回到电场后垂直于极板方向做匀加速直线运动，经t₃到达上极板．
垂直极板方向的初速度：${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}v={v}_{0}$      
则有：$L={v}_{0}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
由③④解得：${t}_{3}=（\sqrt{3}-1）\frac{L}{{v}_{0}}$     
由可得粒子自射入到最终落点的时间：t=t₁+t₂+t₃
将以上数据代入得：t=$（\sqrt{3}+\frac{3}{4}π）\frac{L}{{v}_{0}}$
答：（1）两极板间的电场强度E的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，-q粒子飞出极板时速度v的大小是$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向与水平方向之间的夹角是45°．
（2）在极板右边的空间里存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，若+q粒子与-q粒子在磁场中恰好能相遇，磁感应强度B是$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）粒子不能回到射入点，最终落在上极板上，粒子自射入点至最终落点的时间是$（\sqrt{3}+\frac{3}{4}π）\frac{L}{{v}_{0}}$．

点评 带电粒子在电场中运动分为加速和偏转两种类型，常运用动能定理和平抛运动规律求解，注意运算时要细心，而在匀强磁场中运动时，重要的是由运动径迹利用几何关系找到半径的大小，由洛伦兹力提供向心力，利用牛顿第二定律求解即可．