Question

16．如图所示，一带电粒子从直角坐标系中y轴上的A点沿直线穿过速度选择器，一段时间后进入一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场区域（图中未画出磁场区域），粒子飞出磁场后立即从m板边缘C点平行于板面进入匀强电场，偏转后恰好从n板边缘（x轴上的D点）与x轴正方向成30°角穿过．已知带电粒子的质量为m，电量大小为q，重力不计，A点坐标（0，-b），∠COD=45°，所有匀强磁场和匀强电场的强度均分别为B和E，试求：
（1）m极板所带电荷的电性，粒子经过D点时的速度大小；
（2）圆形磁场区域的最小面积；
（3）粒子从A到D所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）根据粒子在电场中及磁场中的运动可得出粒子及极板的带电量；
（2）根据洛仑兹力充当向心力可求得粒子的半径，要使粒子能从磁场穿出，磁场区域应包含粒子的整个圆，故最小磁场的直径应为$\sqrt{2}$R；
（3）根据几何关系可明确平行板的间距，由竖直方向的匀加速直线运动可求得在电容中的时间；磁场中恰好经过四分之一周期，由周期公式求得时间；粒子在速度选择器中做匀速直线运动；由速度公式可求得时间．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中向右偏转，根据左手定则可知，粒子带负电；
粒子在极板间向下偏转，故m板带负电；
因粒子穿过速度选择器，则在速度选择器中有：
Bqv₀=Eq
解得：离开速度选择器的速度为：v=$\frac{E}{B}$；
经过磁场时速度大小不变；在电场中做类平抛运动；
穿出时的速度v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}E}{3B}$；
（2）由洛仑兹力充当向心力可知：
带电粒子在磁场中的半径R=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{mE}{{B}^{2}q}$
由几何关系可知，粒子在磁场中应经历四分之一个圆周；
圆形磁场的最小半径为：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}mE}{{B}^{2}q}$；
则最小面积S=πr²=$\frac{π{m}^{2}{E}^{2}}{{2B}^{4}{q}^{2}}$
（3）因∠COD=45°；由几何关系可知，OC一定是磁场的直径；
则OC的长度为$\sqrt{2}$R；O′C=$\frac{\sqrt{2}}{2}OC$=R=$\frac{mE}{{B}^{2}q}$；
则在竖直方向有：R=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}{t}^{2}$
解得：t=$\frac{\sqrt{2}m}{Bq}$；
在磁场中的时间t₂=$\frac{T}{4}$=$\frac{2πm}{Bq}×\frac{1}{4}$=$\frac{πm}{2Bq}$；
粒子在速度选择器中的时间t₃=$\frac{d}{v}$=$\frac{Bb}{E}$
总时间t_总=t+t₂+t₃=$\frac{\sqrt{2}m}{Bq}$+$\frac{πm}{2Bq}$+$\frac{Bb}{E}$
答：（1）m极板所带电荷的电性为负电；粒子经过D点时的速度大小$\frac{2\sqrt{3}E}{3B}$；
（2）圆形磁场区域的最小面积$\frac{π{m}^{2}{E}^{2}}{{2B}^{4}{q}^{2}}$
（3）粒子从A到D所经历的时间$\frac{\sqrt{2}m}{Bq}$+$\frac{πm}{2Bq}$+$\frac{Bb}{E}$．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，要注意正确理解几何关系，用好不同场中的物理规律求解．