Question

13．如图1所示，两根相距为L的金属轨道固定于水平面上，导轨电阻不计．一根质量为m、长为L、电阻为及的金属棒两端放于导轨上，导轨与金属棒间的动摩擦因数为μ，棒与导轨的接触电阻不计．导轨左端连有阻值为2R的电阻，在电阻两端接有电压传感器并与计算机相连．轨道平面上有n段竖直向下的宽度为a间距为b的匀强磁场（a＞b），磁感应强度为B．金属棒初始位于00’处，与第一段磁场相距2a．

（1）若金属棒有向右的初速度v₀，为使金属棒保持v₀）的速度一直向右穿过各磁场，需对金属棒施加一个水平向右的拉力．求金属棒进入磁场前拉力F₁的大小和进入磁场后拉力F₂的大小，以及金属棒从开始运动到离开第n段磁场过程中，拉力所做的功．
（2）若金属棒初速度为零，现对其施以水平向右的恒定拉力F使棒穿过各段磁场，发现计算机显示出的电压图象随时间以T作周期性变化．请在图2的坐标系中定性地画出计算机显示的u-t图象（从金属棒进入第一段磁场开始计时）．
（3）在（2）的情况下，求金属棒从处开始运动到离开第n段磁场的过程中导轨左端电阻上产生的热量，以及金属棒从第n段磁场穿出时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）金属棒保持v₀一直向右匀速运动，进入磁场前，拉力F₁与滑动摩擦力平衡，由平衡条件可解；金属棒在磁场中运动时，拉力与滑动摩擦力、安培力平衡，推导出安培力表达式，可解．分两段求功：一段在非磁场区域，运动的位移为[2a+（n-1）b]，可求出功；另一段在在磁场区域，每一段拉力做功相同，共有n段，由功的公式可求解．
（3）要使棒进入各磁场的速度都相同，金属棒在无磁场区域做加速运动，在磁场区域做减速运动，则穿过各段磁场时，感应电动势减小，路端电压减小，根据速度的变化情况，可作出电压图象．
（4）进入磁场前，拉力和摩擦力做功，根据动能定理，求出金属棒进入磁场时的速度．进入在磁场时，拉力、摩擦力和安培力做功，根据动能定理可求出磁场速度，根据能量守恒定律求出热量

解答 解：（1）当金属棒匀速运动时，所受合力为0，则：
进入磁场前有：F₁=μmg                         
进入磁场后有：F₂=μmg+BIL         
电流：I=$\frac{BL{v}_{0}}{3R}$                     
所以F₂=μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$            
金属棒在磁场外的运动过程中拉力做功：W₁=μmg[2a+（n-1）b]
穿过n段磁场过程中拉力做功：W₂=F₂na                 
所以拉力做功为：W=W₁+W₂=μmg[（n+2）a+（n-1）b]+$\frac{n{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$    
（2）由题中要求，要使棒进入各磁场的速度都相同，金属棒在无磁场区域做加速运动，在磁场区域做减速运动，则穿过各段磁场时，感应电动势减小，路端电压减小，根据速度的变化情况，可作出U-t图象如右图所示．
（3）由第（2）中结果可知，金属棒进入各段磁场时速度都应相同，等于从OO′运动2a距离第一次进入磁场时的速度，设为v₁，由动能定理得
（F-μmg ）2a=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$                
要保证每次进入磁场时速度均为v₁，棒在磁场中须做减速运动，离开磁场后再加速．每一段磁场中克服安培力做功均相同，都为W'，棒离开磁场时速度也都相同，设为v₂．由动能定理得
（F-μmg ）a-W'=$\frac{1}{2}$v${\;}_{2}^{2}$$-\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$        
在两个磁场间运动时，有
（F-μmg ）b=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$v${\;}_{2}^{2}$
由此可得：W'=（F-μmg ）（a+b）       
而电路中产生的总热量为：Q=n W'
所以由以上各式解得左端电阻R上产生的热量为：Q_R=$\frac{2}{3}$Q=$\frac{2}{3}$nF-μmg ）（a+b）    
金属棒从第n段磁场穿出时的速度大小为：v₂=$\sqrt{\frac{2}{m}（F-μmg）（2a-b）}$
答：（1）属棒进入磁场前拉力F₁的大小为μmg，进入磁场后拉力F₂的大小为μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$，金属棒从开始运动到离开第n段磁场过程中，拉力所做的功为μmg[（n+2）a+（n-1）b]+$\frac{n{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$．
（2）如图
（3）金属棒从处开始运动到离开第n段磁场的过程中导轨左端电阻上产生的热量为$\frac{2}{3}$nF-μmg ）（a+b），金属棒从第n段磁场穿出时的速度大小为$\sqrt{\frac{2}{m}（F-μmg）（2a-b）}$．

点评 本题分析受力是基础，关键从能量转化和守恒角度来求解，解题时要注意抓住使棒进入各磁场的速度都相同，以及通过每段磁场时电路中发热量均相同的条件，属于难题．