Question

如图的环状轨道处于竖直面内，它由半径分别为R和2R的两个半圆轨道、半径为R的两个四分之一圆轨道和两根长度分别为2R和4R的直轨道平滑连接而成．以水平线MN和PQ为界，空间分为三个区域，区域Ⅰ和区域Ⅲ有磁感应强度为B的水平向里的匀强磁场，区域Ⅰ和Ⅱ有竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的带电小环穿在轨道内，它与两根直轨道间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1），而轨道的圆弧形部分均光滑．将小环在较长的直轨道CD下端的C点无初速释放（已知区域Ⅰ和Ⅱ的匀强电场场强大小为E=

2mg

q

，重力加速度为g），求：
（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度vA的大小；
（2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力？
（3）若从C点释放小环的同时，在区域Ⅱ再另加一垂直于轨道平面向里的水平匀强电场，其场强大小为E′=

mg

q

，则小环在两根直轨道上通过的总路程多大？

Answer 1

分析：（1）小环从C到A，洛伦兹力不做功，重力做负功，电场力做正功．小环对直轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力．根据动能定理求解v_A．
（2）小环在第一次通过轨道最高点A时，受到轨道的弹力F_N，重力mg，洛伦兹力qv_AB，电场力qE，四个力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道的压力．
（3）由于0＜μ＜1，小环在直杆受到的重力与电场力的合力向上，大于滑动摩擦力μmg，则小环必能通过A点．分三种讨论研究：①小环恰好停在K点，②有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，③在D与D′点之间振动，小环在D或D′点速度为零．滑动摩擦力做功与路程有关，根据动能定理求解路程．

解答：解：（1）从C到A，洛伦兹力不做功，小环对直轨道无压力，也就不受轨道的摩擦力．由动能定理，有：
       qE?5R-mg?5R=

1

2

m

v

2 A

  可得：v_A=

10gR

  
    （2）过A点时，研究小环，由受力分析和牛顿第二定律，有：
     F_N+mg-qv_AB-qE=m

v 2 A

R

  解得  F_N=11mg+qB

10gR

  方向向下 
    （3）由于0＜μ＜1，小环必能通过A点，以后有三种可能：
①有可能第一次过了A点后，恰好停在K点，则在直轨道上通过的总路程为：S_总=4R
②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，对整个运动过程，由动能定理，有：qE?3R-mg?3R-μqE′S_总=0   得：s_总=

3R

μ

③还可能最终在D或D′点速度为零（即在D与D′点之间振动），由动能定理，有：
   qE?4R-mg?4R-μqE′S_总=0得：s_总=

4R

μ

答：（1）小环在第一次通过轨道最高点A时速度v_A的大小=

10gR

；
   （2）小环在第一次通过轨道最高点A时受到轨道压力为11mg+qB

10gR

，方向向下．
   （3）①有可能第一次过了A点后，恰好停在K点，S_总=4R；
        ②也有可能在水平线PQ上方的轨道上往复若干次后，最后一次从A点下来恰好停在K点，s_总=

3R

μ

        ③还可能最终在D或D′点速度为零（即在D与D′点之间振动），s_总=

4R

μ

．

点评：本题第（1）、（2）两问是常规题，是动能定理和向心力结合处理．第（3）问比较难，要分析小环最终可能停止的位置，考查分析推理能力，也是高考命题立意的重点．