Question

如图所示，小球沿水平面以初速v₀通过O点进入半径为R的竖直半圆弧轨道，不计一切阻力．下列说法正确的是（　　）

• A、若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球的在最高点的速度恰好为零
• B、若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球的在最高点的速度恰好为

  gR

• C、若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点离O点的水平距离为2R
• D、若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点离O点的水平距离为4R

Answer 1

分析：（1）在最高点对小球进行受力分析，小球做圆周运动，求出提供的向心力，由牛顿第二定律列方程，
根据小球做圆周运动所需要的向心力与提供的向心力间的关系，求出小球恰好通过最高点的条件．
（2）小球恰能通过最高点后做平抛运动，根据平抛运动的规律求出小球落地点与O点的水平距离．

解答：解：（1）小球在最高点受竖直向下的重力mg，可能受到竖直向下轨道的压力F，这两个力的合力提供向心力，
由牛顿第二定律得：F+mg=m

v2

R

，在m、R一定的情况下，mg是一个定值不变，v越小，小球做圆周运动需要的向心力越小，轨道对小球的压力F越小，当F=0时，mg=m

v2

R

，v=

gR

，如果小球速度v＜

gR

，小球的重力将大于小球做圆周运动所需要的向心力，小球将脱离轨道，不能做圆周运动，由此可见，小球在竖直平面内做圆周运动的条件是v≥

gR

，小球恰好通过最高点时，v=

gR

．
（2）小球恰能通过半圆弧最高点时v=

gR

，离开最高点后，小球做平抛运动，
在竖直方向上，小球做自由落体运动：2R=

1

2

gt²，t=

4R g

，
在水平方向上，小球做匀速直线运动：x=vt=

gR

×

4R g

=2R．
故选BC．

点评：本题涉及到了小球在竖直平面内做圆周运动的临界条件：小球在最高点v≥

gR

，分析小球通过最高点的条件对学生来说是一个难点．