Question

7．某同学根据所学知识设计了如图所示加速器，给质量为m，电量为+q的小球（视为质点）加速，两固定的平行金属板上下放置，板间固定一半径为R的竖直光滑绝缘圆轨道，在轨道最高点和最低点处各有一个感应器（视为质点）．某时刻小球以初速度v₀从轨道最低点水平向右冲入圆轨道，感应器立刻通过控制电路在两金属板间加上大小恒定的电压，使板间产生方向竖直向上的电场强度E，且qE=2mg，之后小球每经过一次感应器感应器就通过控制电路使电场反向一次：
（1）要让小球始终不脱离轨道，v₀至少为多大？
（2）在v₀取（1）临界值情况下，小球转了n圈回到出发点时的速度多大？
（3）若感应器从感知小球到通过控制电路使电场反向，需要反应时间△t，求该加速器能使小球达到的最大速度（小球达最大速度时可近视为作匀速圆周运动）．

Answer 1

分析 （1）首先分析小球的受力情况，据圆周运动的临界条件和动能定理求解即可．
（2）据动能定理求出转n圈回到出发点的速度；
（3）据反应时间，分析小球的运动，当小球速度最大时，运动一周的时间为2△t，据此求解即可．

解答 解：（1）以小球为研究对象，受重力和电场力的合力为mg，方向向上，所以要让小球始终不脱离轨道，在低点做圆周运动，即mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$
（2）小球转一圈时，电场力和重力做的功为：2mgR+6mgR=8mgR
小球转了n圈回到出发点时，据动能定理得：8nmgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{16ngR+gR}$
（3）由于反应时间△t，当小球到达下一个感应器时，小球的速度最大，即小球转动一周的时间为2△t，
此时的速度为：v_max=$\frac{2πR}{2△t}$=$\frac{πR}{△t}$
答：（1）要让小球始终不脱离轨道，v₀至少为$\sqrt{gR}$．
（2）在v₀取（1）临界值情况下，小球转了n圈回到出发点时的速度$\sqrt{16ngR+gR}$
（3）若感应器从感知小球到通过控制电路使电场反向，需要反应时间△t，该加速器能使小球达到的最大速度$\frac{πR}{△t}$．

点评 本题是信息题，难度较大，关键是类比圆周运动的临界条件是解题的突破口，灵活利用动能定理和反应时间分析小球的最大速度，总之，此题的灵活性很强．