Question

15．滑雪运动是把滑雪板装在靴底上在雪地上进行速度、跳跃和滑降的竞赛运动．滑雪运动中当滑雪板相对雪地速度较大时，会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．然而当滑雪板相对雪地速度较小时，与雪地接触时间超过某一值就会陷下去，使得它们间的摩擦力增大．假设滑雪者的速度超过8m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ₁=0.25变为μ₂=0.125．一滑雪者从倾角θ=37°的坡顶A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平地面，最后停在C处，如图所示．不计空气阻力，已知坡长L=24.1m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数μ₃=0.5，求滑雪者在水平地面上运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出动摩擦因数改变前的加速度，由速度时间关系式求滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间；
（2）求出动摩擦因数改变以后的加速度，由运动学公式求出滑雪者到达B处时的速度大小；
（3）求出滑雪者在水平面上的加速度，根据速度位移公式求出滑雪者在水平地面上运动的最大距离

解答 解：（1）由牛顿第二定律得 mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁
得：${a}_{1}^{\;}$=$gsinθ-{μ}_{1}^{\;}gcosθ=10×0.6-0.25×10×0.8$=4m/s²
滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{8}{4}$=2s
（2）由牛顿第二定律得：mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂
得：${a}_{2}^{\;}$=$gsinθ-{μ}_{2}^{\;}gcosθ=10×0.6-0.125×10×0.8=5m/{s}_{\;}^{2}$
动摩擦因数改变前的位移：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4×{2}_{\;}^{2}=8m$
则由${v}_{B}^{2}={v}_{\;}^{2}+2{a}_{2}^{\;}（L-{x}_{1}^{\;}）$
代入数据：${v}_{B}^{2}={8}_{\;}^{2}+2×5×（24.1-8）$
代入数据解得：v_B=15m/s
（3）根据牛顿第二定律：a₃=μ₃g=5m/s²
在水平面滑行的距离：x₃=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2{a}_{3}^{\;}}$=$\frac{1{5}_{\;}^{2}}{2×5}$=22.5m
答：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间2s；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小15m/s；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数μ₃=0.5，求滑雪者在水平地面上运动的最大距离22.5m．

点评 本题综合运用了牛顿第二定律、动能定理等规律，关键理清滑雪者的运动过程，正确地受力分析，运用牛顿定律或动能定理解题．