Question

20．2015年2月20日，“火星一号”移民计划公布了第一批候选人名单，其中有4名华人入围，经过层层选拔的24人将从2024年开始陆续登陆火星．假若某志愿者登上火星后将一小球从高为h的地方由静止释放，不计空气阻力，测得经时间t小球落地．已知火星的半径为R，引力常数为G，不考虑火星自转的影响．求：
（1）火星的质量；
（2）环绕火星表面运行的卫星的周期．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的规律h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可解得火星表面重力加速度，根据火星表面的物体，万有引力等于重力求解火星质量；
（2）设环绕火星表面运行的卫星的周期为T，根据万有引力提供向心力求解周期．

解答 解：（1）小球在火星上做自由落体运动，则有：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
根据火星表面的物体，万有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得火星的质量为：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）设环绕火星表面运行的卫星的周期为T，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：T=$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$
答：（1）火星的质量为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）环绕火星表面运行的卫星的周期为$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$．

点评 本题考查了万有引力定律理论与自由落体运动的综合，通过自由落体运动的规律求出星球表面的重力加速度是关键，掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个重要理论，并能灵活运用．