Question

伴随着神舟系列载人飞船的陆续升空，“嫦娥一号”探月成功发射，我国作为航天大国，其实力不断增强，万有引力与航天问题也成为百性关注的热点话题．若已知万有引力常量G，地球半径R，地球和月亮之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球运转的周期T₁，地球的自转的周期T₂，地球表面的重力加速度g．小霞同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：她认为同步卫星绕地心作圆周运动，由于卫星距地面较高，则地球半径可忽略不计，然后进行估算，由G

Mm

h2

=mh(

2π

T2

)2可得M=

4π2h3

G T 2 2

．
（1）请你判断一下小霞同学的计算方法和结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件能否探究出两种估算地球质量的方法并解得结果．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供向心力，列式求解，地球半径较大，不能忽略；
（2）对月球或地球应用万有引力提供向心力，也可根据在地球表面重力等于向心力求解．

解答：解（1）小霞同学的计算方法和结果都是不正确的．因为地球半径R在计算过程中不能忽略．
正确的解法和结果为：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T2

)2(R+h)
解得：M=

4π2(R+h)3

GT22

（2）利用万有引力与圆周运动向心力和重力的关系有：
方法一：万有引力提供月球绕地作圆周运动的向心力，
因此有G

Mm

r2

=m(

2π

T1

)2r，
故有M=

4π2r3

G T 2 1

方法二：在地球表面重力近似等于万有引力：
G

Mm

R2

=mg，
故有M=

gR2

G

答：（1）小霞同学的计算方法和结果都是不正确的．因为地球半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果如上所述．
（2）根据已知条件，还有两种估算地球质量的方法，其方法和结果如上所述．

点评：本题关键抓住万有引力提供向心力或在地球表面重力等于万有引力．