Question

如图所示，一质量M=2kg的长木板月静止于光滑水平面上，B的右边放有竖直挡板，现有一小物体A(可视为质点)质量m₂＝1kg，以速度v₀=6m／s从B的左端水平滑上B，已知A和B间的动摩擦因数μ＝0.2，B与竖直挡板的碰撞时间极短，且碰撞时无机械能损失.

(1)若B的右端距挡板s=4m，要使A最终不脱离B，则木板B的长度至少多长？

(2)若B的右端距挡板s=0.5m，要使A最终不脱离B，则木板B的长度至少多长？

Answer 1

解：(1)设A滑上B后达到共同速度前未碰到挡板，则根据动量守恒定律得它们的共同速度为v，有

mv₀＝(M+m)v，解得v=2m／s，在这一过程中，B的位移为s_B=／2a_B且a_B=μmg／M，解得s_B＝Mv²／2μmg=2×2²／2×0.2×1×10=2 m.

设这一过程中，A，B的相对位移为s₁，根据系统的动能定理，得

μmgs₁=(1／2)m-(1／2)(M+m)v²，解得s₁=6m.

当s＝4m时，A，B达到共同速度v=2m／s后再匀速向前运动2m碰到挡板，B碰到竖直挡板后，根据动量守恒定律得A，B最后相对静止时的速度为v′，则Mv-mv=(M+m)v′，解得v′=(2／3)m／s.

在这一过程中，A，B的相对位移为s₂，根据系统的动能定理，得

μmgs₂＝(1／2)(M+m)v²-(1／2)(M+m)v′²，解得s₂=2.67 m

因此，A，B最终不脱离的木板最小长度为s₁+s₂＝8.67 m.

(2)因B离竖直挡板的距离s=0.5 m＜2 m，所以碰到挡板时，A，B未达到相对静止，此时B的速度v_B为＝2a_Bs＝(2μmg／M)s，解得v_B＝1 m／s，

设此时A的速度为v_A，根据动量守恒定律，得mv₀=Mv_B+mv_A，解得v_A=4 m／s，

设在这一过程中，A，B发生的相对位移为s₁′，根据动能定理得：μmgs₁′=(1／2)m-[(1／2)m+(1／2)M]，解得s₁′＝4.5m.

B碰撞挡板后，A，B最终达到向右的相同速度v，

根据动能定理得mv_A-Mv_B=(M+m)v，

解得v＝(2／3)m／s.

在这一过程中，A，B发生的相对位移s₂′为μmgs₂′=(1／2)m+(1／2)(M+m)v²，

解得s₂′＝(25／6)m.

B再次碰到挡板后，A，B最终以相同的速度v′向左共同运动，根据动量守恒定律，得Mv-mv=(M+m)v′，解得v′＝(2／9)m／s.

在这一过程中，A，B发生的相对位移s₃′为：μmgs₃′＝(1／2)(M+m)v²-(1／2)(M+m)v′²，

解得s₃′=(8／27)m.

因此，为使A不从B上脱落，B的最小长度为s₁′+s₂′+s₃′＝8.96 m.