Question

9．平面OM和水平面ON之间的夹角为30°，其横截面如图所示，平面OM和平面ON之间同时存在匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．匀强电场的方向竖直向上，一带电小球的质量为m，电荷量为q，带电小球沿纸面以大小为v₀的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角，带电小球进入磁场后恰好做匀速圆周运动，已知粒子在磁场中的运动轨迹与ON恰好相切，且带电小球能从OM上另一点P射出磁场，（P未画出）求：

（1）判断带电小球带何种电荷？所加电场强度E为多大？
（2）带电小球离开磁场的射点P到两平面交点O的距离S多大？
（3）带电小球离开磁场后继续运动，能打在左侧竖直的光屏OO′，此点到O点的距离多大？

Answer 1

分析 （1）粒子做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，据此求出场强、判断小球电性．
（2）粒子做圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后求出距离S．
（3）粒子离开磁场后做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出距离．

解答 解：（1）小球在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
小球受到电场力与重力平衡，小球所受电场力竖直向上，
电场力方向与场强方向相同，则小球带正电荷；
电场力与重力大小相等：qE=mg，解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力作为向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
根据题意，带电小球在匀强磁场中的运动轨迹如图所示，


Q点为运动轨迹与ON相交的点，I点为入射点，P点为出射点，则IP为圆轨道的弦，
小球离开磁场的速度方向与OM的夹角也为300°，由几何关系可得，QP为圆轨道的直径，
所以，OP的长度S为：S=$\frac{QP}{sin30°}$=$\frac{2r}{sin30°}$=4r=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（3）带电小球从P点离开磁场后做平抛运动，
设打在光屏上的T点，竖直位移为y．
水平位移：x=v₀t，解得：t=$\frac{x}{{v}_{0}}$=$\frac{Scos30°}{{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}m}{qB}$，
竖直位移：y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{6{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$，
如图所示，OT的距离H为：H=2R+y=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+$\frac{6{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$；
答：（1）带电小球带正电荷，所加电场强度E为$\frac{mg}{q}$；
（2）带电小球离开磁场的射点P到两平面交点O的距离S为$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$；
（3）带电小球离开磁场后继续运动，能打在左侧竖直的光屏OO′，此点到O点的距离为：$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$+$\frac{6{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．

点评 本题考查了带电小球在复合场中的运动，小球所受电场力与重力合力为零，洛伦兹力提供向心力，小球在复合场中做匀速圆周运动，分析求出小球的运动过程、作出小球运动轨迹是解题的前提与关键．