Question

（2008?潍坊模拟）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离s_oc=L．求：
（1）小球通过最高点A时的速度v_A；
（2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力；
（3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球沿斜面滑落到斜面底边时到C点的距离若相等，则l和L应满足什么关系．

Answer 1

分析：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，说明小球在A点时细线的拉力为零，只有重力的分力做向心力；
（2）从A到B的过程中只有重力做功，由机械能守恒定律可以求得B点时的速度，再有向心力的公式可以求得拉力；
（3）无论从A点还是B点断裂，小球做的都是类平抛运动，可以分两个分向来求解．

解答：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，刚小球通过A点时细线的拉力为零，
根据圆周运动和牛顿第二定律有：
mgsinθ=m

v 2 A

l

，
解得：vA=

glsinθ

．
（2）小球从A点运动到B点，根据机械能守恒定律有：

1

2

m

v

2 A

+mg?2lsinθ=

1

2

m

v

2 B

，
解得：

v

B

=

5glsinθ

．
小球在B点时根据圆周运动和牛顿第二定律有，
T-mgsinθ=m

v 2 B

l

，
解得：T=6mgsinθ．
（3）小球运动到A点或B点时细线断裂，小球在平行底边方向做匀速运动，
在垂直底边方向做初速为零的匀加速运动（类平抛运动）．
细线在A点断裂：L+l=

1

2

a

t

2 A

，sA=vAtA．
细线在B点断裂：L-l=

1

2

a

t

2 B

，sB=vBtB．
又s_A=s_B．
联立解得：L=

3

2

l．
答：（1）小球通过最高点A时的速度vA=

glsinθ

．
    （2）小球通过最低点B时，细线对小球的拉力是6mgsinθ．
    （3）l和L应满足的关系是L=

3

2

l．

点评：本题的综合性较强，要了解物体做圆周运动的特点，同时也用到了类平抛的知识和机械能守恒，是一个很好的综合题目，很能考查学生的分析解题能力．