Question

在无风的情况下，假定雨点下落过程中受到的空气阻力与下落速度的平方成正比，即f=kv²（k为比例系数且已知）．若雨点看作球形，球体体积大小的公式为

4

3

πr3，其中r为球体半径，又雨点的密度为ρ．由于下落的高度较高，使得每个雨点最终都做匀速运动．
（1）简述雨点下落的运动情况；
（2）若在雨点加速运动的某时刻速度为v₀，求其此时的加速度大小；
（3）求雨点落地时最终速度．

Answer 1

分析：（1）雨滴向下运动的过程中受重力和阻力，根据牛顿第二定律判断出加速度的变化，根据加速度方向与速度方向的关系得出雨滴下落过程中的运动情况．
（2）若在雨点加速运动的某时刻速度为v₀，求出阻力的大小，根据牛顿第二定律求出加速度的大小．
（3）雨滴落地前做匀速直线运动，根据重力和阻力相等求出最终的速度的大小．

解答：解：（1）在向下运动的过程中，加速度方向向下，做加速运动，速度增加，阻力增大，则加速度减小，所以雨滴先做加速度逐渐减小的加速运动，最终做匀速直线运动．
（2）雨滴的阻力f=kv02，
则加速度a=

mg-f

m

=g-

f

m

=g-

kv02

ρ? 4 3 πr3

=g-

3kv02

4ρπr3

．
（3）当落地前有：mg=kv²
解得v=

mg k

=

ρ? 4 3 πr3g k

=

4ρπgr3 3k

．
答：（1）雨点先做加速度逐渐减小的加速运动，最终做匀速直线运动．
（2）此时的加速度大小为g-

3kv02

4ρπr3

．
（3）雨点落地时最终速度

4ρπgr3 3k

．

点评：解决本题的关键知道加速度的方向与合力方向相同，当加速度方向与速度方向同向，做加速运动，当加速度方向与速度方向相反，做减速运动．