Question

14．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度v和周期T．
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，试求第二种形式下星体间的距离r应为多少？[设三个星体做圆周运动的半径为R′（未知）]．

Answer 1

分析 明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源．
（1）运行的任一卫星受到中心星体和另一个转动的星体的万有引力作用，合力充当向心力，列式求解即可；
（2）对其中一个星体受力分析，根据平行四边形定则求出合力，有合力充当向心力列式即可．

解答 解：（1）在第一种形式下，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
${F_1}=G\frac{m^2}{R^2}$，${F_2}=G\frac{m^2}{{{{（2R）}^2}}}$${F_1}+{F_2}=m\frac{v^2}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，
周期：$T=\frac{2πR}{v}$，解得：T=4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5Gm}}$；
（2）设第二种形式下，三个星体做圆周运动的半径为：$R'=\frac{{\frac{r}{2}}}{cos30°}$，
由于星体做圆周运动所需的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有：
${F_合}=2G\frac{m^2}{r^2}cos30°=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R'$，
解得：r=$\root{3}{2.4}$R；
答：（1）第一种形式下，星体运动的线速度v为：$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，周期T为：4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5Gm}}$．
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体间的距离r应为：$\root{3}{2.4}$R．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．