Question

3．如图（a）所示，间距为50cm、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ=30°的斜面上．在区域I内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为0.5T；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B_t的大小随时间t变化的规律如图（b）所示．t=0时刻在轨道上端的金属细棒ab从如图位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属细棒cd在位于区域I内的导轨上由静止释放．在ab棒运动到区域Ⅱ的下边界EF处之前，cd棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．
已知cd棒的质量为0.1kg、ab棒的质量及两棒的阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为1m，在t=t_x时刻（t_x未知）ab棒恰进入区域Ⅱ，求：

（1）通过cd棒电流的方向和区域I内磁场的方向；
（2）当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒中的电流；
（3）ab棒开始下滑的位置离EF的距离及ab棒的质量；
（4）求：ab棒开始下滑至EF的过程中，ab棒的动能、重力势能的变化量以及回路中产生的内能Q．
对于问题（4），有同学是这么认为的：ab棒在下滑过程中，由于安培力对ab棒做负功，故棒的机械能减少，减少的机械能ω等于回路中产生的内能Q，该同学的分析是否正确？如果正确，按照他的思路，解出内能Q；如果不正确，请说明有什么问题并按照你的理解，解出内能Q．

Answer 1

分析 （1）根据右手定则判断出ab棒中的电流方向，从而得出通过cd棒中的电流方向，根据cd棒处于静止，通过安培力的方向，根据左手定则判断出区域I内磁场的方向．
（2）对cd棒，根据平衡求出感应电流的大小．
（3）棒ab进入II区域前后回路中的电动势不变，即磁场变化产生电动势与导体切割磁感线产生电动势相等，据此求出导体棒进入II时速度大小，然后根据导体棒匀加速下滑的特点即可求出结果．
（4）回路中电流恒定，根据Q=EIt可求出结果．

解答 解：（1）根据右手定则，可知通过ab棒的电流方向由a→b；那么通过cd棒的电流方向：d→c；
根据平衡条件，可知，棒ab的安培力方向沿导轨向上，
根据左手定则，则有：区域I内磁场方向为垂直于斜面向上；
（2）对cd棒，F_安=BIl=mgsinθ所以通过cd棒的电流大小I=$\frac{mgsin30°}{BL}$=$\frac{0.1×10×0.5}{0.5×0.5}$=2A．
（3）ab棒在到达区域II前做匀加速直线运动，a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=gsinθ=5m/s²；
cd棒始终静止不动，ab棒在到达区域II前、后，回路中产生的感应电动势不变，则ab棒在区域II中一定做匀速直线运动
可得；$\frac{△φ}{△t}$=BLv_t，即$\frac{B•l•L}{{t}_{x}}$=BLgsinθt_x，所以t_x=$\sqrt{\frac{l}{gsinθ}}$=$\sqrt{\frac{1}{10×0.5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
ab棒在区域II中做匀速直线运动的速度v_t=$\sqrt{glsin30°}$=$\sqrt{5}$m/s；
则ab棒开始下滑的位置离EF的距离h=$\frac{1}{2}$at _x²+l=1.5m；
根据ab棒在区域II中一定做匀速直线运动，因此受到重力，安培力，与支持力，
根据平衡条件，则有：G=F_安；
因Bt磁感应强度为0.5T，则两棒受到的安培力大小相等，
又由于cd棒处于静止，则两棒的质量相等，即为0.1kg；
（4）根据能量守恒定律，可知，想法是不正确的；
ab棒在区域II中运动的时间t₂=$\frac{l}{{v}_{t}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$s
ab棒从开始下滑至EF的总时间t=t _x+t₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$s
ε=Blv_t=$0.5×0.5×\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$V；
ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量：Q=εIt=$\frac{\sqrt{5}}{4}×2×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1J；
而ab棒的动能为E_K=$\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×（\sqrt{5}）^{2}$=0.25J；
那么其重力势能的变化量为△E_P=mg△h=0.1×10×1.5×0.5=0.75J；
则减小的机械能为△E=0.75-0.25J=0.5J；
因此减少的机械能E不等于回路中产生的内能Q，
原因是ab棒没有进入磁场II时，电路中已有电流，从而产生内能．
答：（1）通过cd棒的电流方向 d→c，区域I内磁场方向为垂直于斜面向上．
（2）当ab棒在区域Ⅱ内运动时cd棒的电流大小2A．
（3）ab棒开始下滑的位置离EF的距离为1.5m，质量为0.1kg．
（4）ab棒开始下滑至EF的过程中回路中产生的热量为1J．

点评 解决这类问题的关键是弄清电路结构，正确分析电路中的电流以及安培力的变化情况，并掌握焦耳定律的内容．