Question

20．如图，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场．大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度（速度大小未确定）沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t₀．不计粒子的重力及粒子间的相互作用．求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度；
（3）AC、AD边上可能有粒子射出的范围．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子垂直AD射出时圆心角的大小，结合周期公式和运动的时间求出磁感应强度的大小．
（2）当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子能从CD边射出，半径最大，速度为最大值，根据几何关系求出半径，结合半径公式求出最大速度．
（3）当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C最远，当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时，射出的粒子距D点最远，结合几何 关系求出AC、AD边上可能有粒子射出的范围．

解答 解：（1）洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$
当粒子垂直AD边射出时，根据几何关系有：圆心角为60°  
 ${t_0}=\frac{1}{6}T$
联立解得$B=\frac{πm}{{3q{t_0}}}$．
（2）当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子能从CD边射出，半径最大，速度为最大值，此时       
$r=\frac{L}{2}sin{60^o}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}L$
根据$qvB=m\frac{v^2}{r}$得，
$r=\frac{mv}{qB}$，解得$v=\frac{{\sqrt{3}πL}}{{12{t_0}}}$
所以，粒子射入的速度应满足$v≤\frac{{\sqrt{3}πL}}{{12{t_0}}}$
（3）由（2）知，当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C最远
故有粒子射出的范围为CE段，${x_{CE}}=\frac{L}{2}cos60°=\frac{L}{4}$
当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时，射出的粒子距D点最远．
故有粒子射出的范围为DF段，${x_{DF}}=\frac{r}{{sin{{60}^o}}}=\frac{L}{2}$．
答：（1）磁场的磁感应强度大小为$\frac{πm}{3q{t}_{0}}$；
（2）要确保粒子能从CD边射出，射入的最大速度为$\frac{\sqrt{3}πL}{12{t}_{0}}$；
（3）AC、AD边上可能有粒子射出的范围为CE段和DF段，${x}_{CE}=\frac{L}{4}$、${x}_{DF}=\frac{L}{2}$．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，关键作出运动的轨迹，抓住临界状态，结合半径公式和周期公式进行求解，难度中等．