Question

5．一弹簧的劲度系数为k，把弹簧的一端固定，另一端连接一个物体，如图所示．若O点是弹簧自由伸长时物体所在的位置，试求当弹簧的伸长量（或压缩量）为x时，弹簧的弹性势能为多少？

Answer 1

分析 由胡克定律可得出弹簧的弹力F与x的关系式，画出对应的图象，弹力所做的功等于F-x图象与坐标轴所围成的面积大小．由几何知识即可求得弹力做的功，再得到弹簧的弹性势能．

解答 解：由于弹簧的弹力F的大小与位移x的大小成正比，所以变力F可以用平均值代替，也就是说，变力x做的功等于F的平均力F做的功，则弹力做功为
   W=$\overline{F}$x=$\frac{0+kx}{2}•x$=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．
弹性势能是跟弹力有关的势能，弹性势能的变化是由弹力做功的多少来量度，显然本题中弹簧的弹性势能就等于弹簧从该位置回到原长时弹性势能的变化，弹性势能的这种变化可以用弹簧所做的功来量度．
所以当弹簧的伸长量（或压缩量）为x时，弹簧的弹性势能为 E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．
或根据胡克定律，弹力的大小跟弹簧的伸长量成正比，即F=kx，显然，弹力做功是变力做功，可用示功图来求弹力所做的功，作出F-x图象，如图所示．由图可知：

弹力所做的功的大小等于三角形OAx的面积．
即W=$\frac{kx•x}{2}$=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．
由功能关系可知：弹簧伸长量（或压缩量）为x时，弹簧的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．
答：当弹簧的伸长量（或压缩量）为x时，弹簧的弹性势能为$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．

点评 本题考查功能关系的应用，在解决物理问题时一定要注意知识的迁移，通过本题可掌握求变力功的一种方法：图象法．