Question

16．如图甲所示，光滑的平行水平金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间连接一个阻值为R的电阻，一质量为m、电阻为r、长度也刚好为L的导体棒ab垂直搁在导轨上，在导体棒的右侧导轨间加一有界匀强磁场，磁场方向垂直于导轨平面，宽度为d₀，磁感应强度为B，设磁场左边界到导体棒的距离为d．现用一个水平向右的力F拉导体棒，使它由静止开始运动，棒离开磁场前已做匀速直线运动，与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计，水平力F与位移x的关系图象如图乙所示，F₀已知．求：

（1）导体棒ab离开磁场右边界时的速度．
（2）导体棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能．
（3）d₀满足什么条件时，导体棒ab进入磁场后一直做匀速运动？

Answer 1

分析 （1）由于导体棒离开时已经匀速运动，故安培力与外力F大小相等方向相反，据此可以求出棒离开磁场时的速度．
（2）克服安培力所做功等于回路中产生的热量即消耗的电能，根据动能定理可以正确求出．
（3）由题意可知导体棒运动到右端时已经匀速运动，因此只要导体棒进入磁场时的速度等于（1）中所求速度，棒ab进入磁场即可匀速运动，根据动能定理可以求出d₀满足的条件．

解答 解：（1）设离开右边界时棒ab速度为υ，则有：
E=Blv…①
$I=\frac{E}{R+r}$…②
对棒有：2F₀-BIl=0 ③
联立①③③解得：$V=\frac{2{F}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$，
故棒ab离开磁场右边界时的速度为：$V=\frac{2{F}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）在ab棒运动的整个过程中，根据动能定理有：
 ${F}_{0}{d}_{0}+2{F}_{0}d-{W}_{安}=\frac{1}{2}m{V}^{2}-0$…④
由功能关系：E_电=W_安…⑤
联立④⑤解得：${E_电}={F_0}（{d_0}+2d）-\frac{{2m{F_0}^2{{（R+r）}^2}}}{{{B^4}{l^4}}}$
故棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能为：${E_电}={F_0}（{d_0}+2d）-\frac{{2m{F_0}^2{{（R+r）}^2}}}{{{B^4}{l^4}}}$．
（3）设棒刚进入磁场时的速度为υ₀，则有：
${F}_{0}{d}_{0}=\frac{1}{2}m{V}_{0}{\;}^{2}-0$
当υ₀=υ，
故当d₀满足满足条件为：${d_0}=\frac{{2{F_0}m{{（R+r）}^2}}}{{{B^4}{l^4}}}$时，进入磁场后一直匀速运动．
答：（1）导体棒ab离开磁场右边界时的速度为$\frac{2{F}_{0}（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）导体棒ab通过磁场区域的过程中整个回路所消耗的电能为${F}_{0}（{d}_{0}+2d）-\frac{2m{F}_{0}{\;}^{2}{（R+r）}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}$．
（3）当d₀满足满足条件为：${d_0}=\frac{{2{F_0}m{{（R+r）}^2}}}{{{B^4}{l^4}}}$时，进入磁场后一直匀速运动．

点评 本题考查了电磁感应与力学和功能关系的结合，对于这类问题一定要正确分析安培力的大小和方向然后根据运动状态列出牛顿第二定律方程求解，注意克服安培力所做的功等于整个回路消耗的电能即回路中产生的热量．