Question

（2012?景德镇模拟）如图所示，在y轴右侧平面内存在方向向内的匀强磁场，磁感应强度B=0、5T，坐标原点O有一放射源，可以向y轴右侧面内沿各个方向放射比荷

q

m

=4×106C/Kg的正离子，这些正离子的速率分别在零到vmax=2×106m/s的范围内，不计离子之间的相互作用．
（1）求离子打到y轴上的范围
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，求经过t=

5π

3

×10-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程．
（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过t=

5π

3

×10-7s时已进入磁场的离子可能出现的区域面积．

Answer 1

分析：（1）由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律即可求解；
（2）根据运动的周期与运动的时间，即可求出圆心角，从而由几何关系可确定位置坐标，由数学推导确定构成的曲线方程；
（3）根据以上条件，结合圆的面积公式可求出进入磁场的离子可能出现的区域面积．

解答：解：（1）洛伦兹力提供向心力，则有：Bqvm=m

v 2 m

R

解得：R=1m  
则离子打到y轴上的范围为0-2m
（2）由周期公式可得，T=

2πm

qB

=π×10-6s
设这些离子经过t=

5

3

π×10-7s时，其轨迹所对应的圆心角为 θ．    
 θ=

2πt

T

=

π

3

令t时刻离子所在位置坐标为（x，y），
则x=rsinθ；  
y=r（1-cosθ）
y=

3

3

x(0≤x≤

3

2

)
（3）t时刻已进入磁场的区域，其面积
为S=

5

12

πR2+

1

6

πR2-

1

2

R×

3

2

R=(

7

12

π-

3

4

)m2
答：（1）求离子打到y轴上的范围为0-2m；
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，则经过t=

5π

3

×10-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程y=

3

3

x(0≤x≤

3

2

)
（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，则经过t=

5π

3

×10-7s时已进入磁场的离子可能出现的区域面积为(

7

12

π-

3

4

)m2．

点评：本题掌握牛顿第二定律、向心力公式、洛伦兹力公式、匀速圆周运动周期公式，并结合几何关系与数学推导来进行解题．