Question

6．如图所示，在水平面上方附近有一范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场区域．磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向里．一质量为m、电荷量为q的带正电微粒在此区域内沿竖直平面（垂直于磁场方向的平面）做速度大小为v的匀速圆周运动，重力加速度为g．
（1）求此区域内电场强度的大小和方向
（2）若某时刻微粒运动到P点时，速度与水平方向的夹角为60度．且知P点与水平地面间的距离的等于其做圆周运动的半径．求该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离．
（3）当带电微粒运动至最高点时，将电场强度的大小变为原来的一半（电场方向不变，不计电场变化对原磁场的影响），且带电微粒能降至地面，求带电微粒落至地面时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）由题，带电微粒在竖直平面内做匀速圆周运动，带电微粒所受的电场力和重力必定大小相等、方向相反．
（2）带电微粒由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律救出轨迹半径，由几何关系求出该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离．
（3）带电微粒从最高点落至地面过程中，根据动能定理求解带电微粒落至地面时的速度大小．

解答 解：（1）由于带电微粒可以在电场、磁场和重力场共存的区域内沿竖直平面做匀速圆周运动，表明带电微粒所受的电场力和重力大小相等、方向相反．
因此电场强度的方向竖直向上．
设电场强度为E，则有mg=qE，即E=$\frac{mg}{q}$．
（2）设带电微粒做匀速圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛仑兹力公式有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，R=$\frac{mv}{Bq}$
依题意可画出带电微粒做匀速圆周运动的轨迹，由如图所示的几何关系可知，该微粒运动至最高点时与水平地面间的距离为：h_m=$\frac{5}{2}$R=$\frac{5mv}{2Bq}$
（3）将电场强度的大小变为原来的$\frac{1}{2}$，则电场力变为原来的$\frac{1}{2}$，即F_电=$\frac{1}{2}$mg．
带电微粒运动过程中，洛仑兹力不做功，所以在它从最高点运动至地面的过程中，只有重力和电场力做功．设带电微粒落地时的速度大小为v_t，根据动能定理有
mgh_m-F_电h_m=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv²
解得：v_t=$\sqrt{{v}^{2}+\frac{5mgv}{2Bq}}$
答：（1）电场强度的方向竖直向上，大小为$\frac{mg}{q}$；
（2）该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离是$\frac{5mv}{2Bq}$；
（3）带电微粒落至地面时的速度大小为$\sqrt{{v}^{2}+\frac{5mgv}{2Bq}}$．

点评 运用共点力平衡条件、牛顿第二定律、动能定理等规律，及由洛伦兹力提供向心力来确定线速度大小与周期．同时借助于数学的几何关系来确定已知长度与圆弧半径的关系．