Question

荷兰科学家惠更斯在研究物体碰撞问题时做出了突出的贡献．惠更斯所做的碰撞实验可简化为：三个质量分别为m₁，m₂，m₃ 的小球，半径相同，并排悬挂在长度均为L的三根平行绳子上，彼此相互接触．现把质量为m₁的小球拉开，上升到H高处释放，如图所示，已知各球间碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，且碰撞时间极短，H远小于L，不计空气阻力．
（1）若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，试求此时系统的运动周期．
（2）若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则m₁：m₂：m₃应为多少？

Answer 1

分析：（1）球1与球2、球2与球3碰撞后速度互换，各球间碰撞时同时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，根据单摆周期公式求解
（2）对于球1与球2碰撞，对于球2与球3碰撞，根据机械能守恒定律列出等式求解质量之比．

解答：解：（1）球1与球2、球2与球3碰撞后速度互换，球3以球1碰球2前瞬间的速度开始上升到H高处，然后再摆回来与球2、球2与球1碰撞，使球1上升到H高处，此后，系统做到周期性运动，则T1=T3=2π

L g

，T=

1

2

(T1+T3)
由此可知系统的运动周期为：T=2π

L g

（2）由题意知三球碰后的动量均相同，设为p，则Ek=

p2

2m

，
球2在与球3碰前具有动量2p，根据机械能守恒定律，对于球2与球3碰撞的情况应有：

(2p)2

2m2

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₂：m₃=3：1
球1与球2碰前的动量为3p，根据机械能守恒定律有：

(3p)2

2m1

=

p2

2m1

+

(2p)2

2m2

由此得：m₁：m₂=2：1
从而可得：m₁：m₂：m₃=6：3：1
答：
（1）若三个球的质量相同，则发生碰撞的两球速度交换，此时系统的运动周期是2π

L g

．
（2）若三个球的质量不同，要使球1与球2、球2与球3相碰之后，三个球具有同样的动量，则m₁：m₂：m₃应为6：3：1．

点评：本题要注意灵活设出中间量p，从而得出正确的表达式，再由选择得出正确的条件．