Question

两个星球组成双星，它们在相互之间的引力作用下，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为L，其运动周期为T，万有引力常量为G，则两星各自的圆周运动半径与其自身的质量成

 

（填“正比”或者“反比”）；两星的总质量为

 

．

Answer 1

分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等．但两者做匀速圆周运动的半径不相等．

解答：解：设两星质量分别为M₁和M₂，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为L₁和L₂．
由万有引力定律提供向心力：
对  M₁：G

M1M2

L2

=M1(

2π

T

)2L1
对于M₁而言，所受万有引力大小恒定，其圆周运动向心力与万有引力相等，根据表达式知，其质量与转动半径成反比．
得M2=

4π2L2L1

GT2

对M₂：G

M1M2

L2

=M2(

2π

T

)2L2
M1=

4π2L2L1

GT2

由几何关系知：L₁+L₂=L
三式联立解得：M_总=M₁+M₂=

4π2L2

GT2

(L1+L2)=

4π2L3

GT2

故答案为：反比，

4π2L3

GT2

点评：处理双星问题必须注意两点：（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离．弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误．