Question

如图所示，在x轴上方有水平向左的匀强电场E₁，在x轴下方有竖直向上的匀强电场E₂，且E₁=E₂=5N/C，在图中虚线（虚线与y轴负方向成45°角）的右侧和x轴下方之间存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=2T．有一长L=5

2

m的不可伸长的轻绳一端固定在第一象限内的O'点，另一端拴有一质量M=0.1kg、带电量q=+0.2C的小球，小球可绕O'点在竖直平面内转动，OO'间距为L，与x轴正方向成45°角．先将小球放在O'正上方且绳恰好伸直的位置处由静止释放，当小球进入磁场前瞬间绳子绷断．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球刚进入磁场区域时的速度．
（2）细绳绷紧过程中对小球的弹力所做的功．
（3）小球从进入磁场到小球穿越磁场后第一次打在x轴上所用的时间及打在x轴上点的坐标．

Answer 1

（1）小球先做匀加速直线运动，直到绳子绷直，设绳绷紧前瞬间速度为v，绳子刚绷紧后小球速度大小为v₂，进入有磁场的区域时速度的大小为v₃，
则   v²=2ax    


而   F_合=

2

mg=ma
又小球运动的位移为  x=

2

L 
绳子绷紧后：v₂=vcos45°
由动能定理：Mg?

2

2

L-qE₁（L-

2

2

L）=

1

2

M

v

23

-

1

2

M

v

22

联立解得：v₃=10

2

m/s 
（2）设细绳绷紧过程中对小球的弹力所做的功为W，根据动能定理得
   W=

1

2

Mv

22

-

1

2

Mv2
解得，W=-5

2

J
（3）小球进入磁场后，由于qE₂=Mg，小球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
  qv₃B=m

v 23

R

得 R=

Mv3

qB

=

5 2

2

m，T=

2πM

qB

=

π

2

s
小球在运动半周后以v₃出磁场，做匀速直线运动直到打到x轴上
匀速运动的时间t=

2R

v3

，小球从进入磁场到小球穿越磁场后第一次打在x轴上运动的总时间
t_总=t+

T

2

=(0.5+

π

4

)S=1.3s
小球打到x轴上的位置坐标为（-10m，0）
答：
（1）小球刚进入磁场区域时的速度是10

2

m/s．
（2）细绳绷紧过程中对小球的弹力所做的功是-5

2

J．
（3）球从进入磁场到小球穿越磁场后第一次打在x轴上所用的时间是1.3s，打在x轴上点的坐标为（-10m 0）．