Question

4．如图所示，质量为M的平板车P高h，质量为m的小物块Q的大小不计，位于平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为R，一端悬于Q正上方高为R处，另一端系一质量也为m的小球（大小不计）．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°由静止释放，小球到达最低点时与Q的碰撞时间极短，且无机械能损失．Q与P之间的动摩擦因数为μ，平板车与Q的质量关系是M：m=4：1，重力加速度为g．为使小物块Q不滑离长木板，长木板至少多长？

Answer 1

分析 小球向下摆到过程机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球滑动底端时的速度，小球与物块碰撞过程系统动量守恒、物块与小车组成的系统动量守恒，应用动量守恒定律、机械能守恒定律与能量守恒定律可以求出小车的最小长度．

解答 解：设小球与小物块Q碰前的速度为v₀，小球下摆过程机械能守恒．由机械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv₀²，
小球与Q进行弹性碰撞后小球的速度为v₁，小物块Q的速度为v₂，碰撞过程系统动量受，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv₁+mv₂，
根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²，
小物块Q在长木板上若恰不滑落，则两者具有相同的速度v，以向右为正方向，根据动量守恒定律有：
mv₂=（m+M）v，
由能量守恒定律有：μmgl=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²，
解得，小车的长度至少为：l=$\frac{12R}{25μ}$；
答：为使小物块Q不滑离长木板，长木板至少长$\frac{12R}{25μ}$．

点评 本题考查了求小车的长度，分析清楚运动过程是正确解题的关键，应用机械能守恒定律、动量守恒定律与能量守恒定律可以解题，本题难度不大，是一道基础题．