Question

15．如图所示，地面和半圆轨道面均光滑．质量M=1kg、长L=4m的小车放在凹槽地面上，其右端与墙壁距离为s=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg静止的滑块（不计大小），从左侧高为H=3.6m的圆弧形斜劈上滑下，圆弧形斜劈的质量m₁₌2kg圆弧底部与接触面完美相切滑上小车左端，带动小车向右运动．小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．

（1）求滑块滑到小车上的初速度？
（2）求小车与墙壁碰撞时的速度；
（3）要滑块能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道，求半圆轨道的半径R的取值．

Answer 1

分析 （1）滑块在下滑过程中根据动量定理和能量守恒即可求得速度；
（2）滑块滑到小车后滑块做减速运动，小车做加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式即可求得达到的共同速度；
（3）判断出滑块不脱离轨道的条件，即能通过最高点和最高到达T点即可，根据动能定理即可求得轨道半径

解答 解：（1）滑块在下滑的过程中，在水平方向动量守恒，选向右为正方向，故0=mv-m₁v₁
整个下滑过程中能量守恒$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{1}v}_{1}^{2}$
联立解得v=v₁=6m．/s
（2）滑块滑到小车上后，滑块的加速度为${a}_{1}=\frac{μmg}{m}=μg=2m/{s}^{2}$
小车的加速度为${a}_{2}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×2×10}{1}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
达到共同速度所需时间为t，则v_共=v-a₁t
v_共=a₂t
联立解得t=1s，v_共=4m/s
1s内各自通过的位移：滑块${x}_{1}=vt-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=6×1-\frac{1}{2}×2×{1}^{2}m=5m$
小车的位移为${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{1}{2}×4×{1}^{2}m=2m$
△x=x₁-x₂=5-2m=3m＜L=4m，
达到共同速度后小车和滑块一起向右匀速运动，故小车与墙壁碰撞时的速度为4m/s
（3）与墙壁碰撞后，滑块继续做减速运动，到达P点的速度为v′
前进的位移x₃=L-△x=1m
故${v}_{P}^{2}{-v}_{共}^{2}=-2{a}_{1}{x}_{3}$
解得v_P=2$\sqrt{3}$m/s
当滑块能达到最高点且恰好达到最高点时，根据牛顿第二定律可知mg=$\frac{m{{v}_{Q}}^{2}}{R}$
从P到Q过程由动能定理可得
-2mgR=$\frac{1}{2}{mv}_{Q}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}$
联立解得R=0.24m，故当半径R≤0.24 m不会脱离轨道
当半径增大时，滑块最高到达T也不会脱离，故从P到T根据动能定理可的
$-mgR=0-\frac{1}{2}{mv}_{3}^{2}$
解得R=0.6m，当R≥0.6 m也不会脱离轨道
答：（1）求滑块滑到小车上的初速度为6m/s
（2）求小车与墙壁碰撞时的速度为4m/s；
（3）要滑块能沿半圆轨道运动而不脱离半圆轨道，半圆轨道的半径R的取值为R≤0.24 m或R≥0.6 m

点评 本题主要考查了动量定理和动能定理，以及运动学公式，在第3问中必须判断出临界条件即可利用动能定理求解