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【题目】如图甲所示,两平行金属板接有如图乙所示随时间t变化的电压U,两板间电场可看作均匀的,且两板外无电场,板长L=0.2m,板间距离d=0.2m.在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场,MN与两板中线OO′垂直,磁感应强度B=5×10﹣3T,方向垂直纸面向里.现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中,已知每个粒子速度v0=105 m/s,比荷q/m=108 C/kg,重力忽略不计,在每个粒子通过电场区域的极短时间内,电场可视作是恒定不变的.

(1)试求带电粒子射出电场时的最大速度;
(2)证明:在任意时刻从电场射出的带电粒子,进入磁场时在MN上的入射点和在MN上出射点的距离为定值,写出该距离的表达式;
(3)从电场射出的带电粒子,进入磁场运动一段时间后又射出磁场,求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间.

【答案】
(1)解:偏转电压由0到200V的变化中,粒子流可能都能射出电场,也可能只有部分粒子能射出电场.

设偏转的电压为U0时,粒子刚好能经过极板的右边缘射出.

粒子的加速度:

粒子在偏转电场中的时间:

联立以上三式解得:

得U1=100V.

知偏转电压为100V时,粒子恰好能射出电场,且速度最大.

根据动能定理得,

代入数据解得: m/s.

方向:斜向右上方或斜向右下方,与初速度方向成45°夹角.

答:带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×105m/s.


(2)解:设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ.粒子射出电场时速度大小为:

又有洛伦兹力提供向心力:qvB=m

解得

因此粒子射进磁场点与射出磁场点间距离为:

s=2Rsinθ= m.

由此可看出,距离s与粒子在磁场中运行速度的大小无关,s为定值.

答:证明略,距离为0.4m;


(3)解:由(1)中结论可知,若粒子射出磁场的竖直分速度越大,则θ越小,故θ最小值为θm=45°,

此情景下圆弧对应的圆心角为270°,入射粒子在磁场中运行最长时间为:

s

当粒子从上板边缘飞出电场在进入磁场时,在磁场中运动的时间最短:

s.

答:粒子在磁场中运动的最长时间为3π×10﹣6s和最短时间为π×10﹣6s.


【解析】(1)当粒子从极板的右边缘射出时,粒子的速度最大,根据粒子在匀强电场中的偏转,通过偏转位移求出偏转的电压,再通过动能定理求出粒子射出电场时的最大速度.(2)设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ,根据类平抛运动求出射出电场时的速度与初速度的关系,再根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,求出半径的表达式,从而求出入射点与出射点的距离表达式,看是否与夹角θ有关.(3)当带电粒子在磁场中运动的圆心角最大,运动的时间最长,圆心角最小,时间最短.类平抛运动竖直方向上的分速度越大,粒子射出电场速度方向与MN间夹角越小,圆心角越大,根据几何关系求出最大圆心角和最小圆心角,即可求出粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间.

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